[Update] ข้อสอบการแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ รอบแรก ระดับเขตพื้นที่การศึกษา ประจำปี พ.ศ.2549-2561-Flip eBook Pages 1 – 50 | ข้อสอบ สอวน คณิตศาสตร์ 2561 – NATAVIGUIDES

เอกสารประกอบการสอนเสริม

คณติ ศาสตร์ Math

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
รอบแรก ระดับเขตพื้นท่ีการศกึ ษา
ประจาปี พ.ศ.2549 – 2561

นายครรชติ แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ
โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานกั งานเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 1

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

แบบทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์ ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาตอนตน้

เพ่อื การคดั เลอื กนกั เรียนระดับเขตพ้นื ทกี่ ารศกึ ษา

ตอนที่ 1 : แบบอตั นัย จานวน 20 ขอ้ (ข้อ 1 – 20) ขอ้ ละ 2 คะแนน รวม 40 คะแนน

1. 77777 หารด้วย 10 เหลือเศษเท่าไร

2. (2  3)2(2  3)3  (2  3)2(2  3)3 มีคา่ เท่าใด

3. ปัจจุบันไมตรีอายุ 42 ปี ถ้าไมตรีมีอายุเท่ากับมนตรีในปัจจุบัน แล้วมนตรีจะมีอายุเป็นคร่ึงหน่ึงของ
ไมตรี ดังนนั้ ปจั จุบันมนตรมี ีอายกุ ี่ปี

4. มีนักเรียน 101 คน ครูคนท่ี 1 มีของเล่น 75 ชิ้น แจกให้นักเรียนคนละ 1 ชิ้น โดยแจกเรียงลาดับจาก
คนที่ 1 จากซ้ายมือไปขวามือ ครูคนท่ี 2 มีของเล่น 51 ชิ้น แจกให้นักเรียนคนละ 1 ชิ้น โดยแจก
เรยี งลาดับจากคนที่ 101 จากขวามือไปซ้ายมือ ครูคนท่ี 3 มีของเล่น 45 ช้ิน แจกให้นักเรียนคนละ 1
ชน้ิ โดยแจกเรยี งลาดบั จากคนท่ี 40 จากซ้ายมอื ไปขวามือ มนี กั เรยี นก่คี นทีไ่ ดร้ ับของเล่น 3 ชิ้น

5. ถา้ a เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว (a  4)(a  2)(a  2)(a  4)  36 มีคา่ เท่าใด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 2
การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549
6. ให้หาจานวนเต็มบวก m ที่ทาให้ 7m2  7m  7 เปน็ เจด็ ยกกาลงั สี่

7. ถ้า (a2  a)3  (2a2  4)3  (3a2  a  4)3 แลว้ ผลคณู ของคาตอบทง้ั หมดของสมการนเี้ ปน็ เท่าใด

8.  1 1  1  … 1 15 2 มีคา่ เท่าใด
 2 1 3 2 4 3 16  

9. จานวนเต็มทมี่ ากทสี่ ดุ ทน่ี อ้ ยกวา่ หรือเทา่ กับ 1040 มีคา่ เทา่ ใด

1035  3

10. ถ้า a  5 1 และ b  10  5 แล้ว a b 1 มคี า่ เทา่ ใด
10 1 a b1
10 1

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 3
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

11. ถ้า x  1  3 2 แล้ว x3  x3 มีค่าเทา่ ใด
x 2

12. จากรูป ถ้า AB  3 หน่วย AC  7 หน่วย AD  4 หน่วย แล้วรูปสามเหล่ียม ABC มีพื้นท่ีก่ี
ตารางหนว่ ย

13. ถา้ ab  ab  a  b แล้ว 1 1  1  1 … 1 มีคา่ เท่าใด
2 3 4 2549

14. ถ้า a4x  3 2 2 และ a4x  1 2 แล้ว a6x  a6x มีค่าเทา่ ใด
a2x  a2x
32

15. ให้ m เป็นจานวนเต็มบวกและ p เป็นจานวนเฉพาะบวก ถ้า m หาร 777 และ 910 แล้วเหลือ
เศษ p เทา่ กัน แลว้ m2  p2 มคี ่าเทา่ ใด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 4
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549
16. พาราโบลาทผี่ ่านจุดกาเนิดและผา่ นจดุ (1,12) และ (3,6) มจี ดุ ยอดคอื จดุ ใด

17. 35 เมอ่ื เปลย่ี นเปน็ เลขฐานหก แล้ว ตัวเลขสองหลักสุดทา้ ยเปน็ เท่าใด

18. สมั ประสิทธ์ิของ x2 จากการกระจาย (1 x  x2)3 เป็นเท่าใด

19. เลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 นามาสร้างจานวนท่ีมีส่ีหลัก ให้มีค่ามากกว่า 6,000 โดยเลขโดด
แตล่ ะหลักห้ามซ้า ยกเวน้ ตวั เลข 4 เท่านนั้ ที่ใช้ซา้ ได้ จะสรา้ งได้กีจ่ านวน

20. ถ้า m และ n เปน็ จานวนเตม็ บวกซ่งึ m2  n4 19 แล้ว m2  n4 มีคา่ เทา่ ใด
ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 5
การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

ตอนที่ 2 : แบบอตั นยั จานวน 15 ข้อ (ข้อ 21 – 35) ข้อละ 4 คะแนน รวม 60 คะแนน

21. ถา้ a, b เป็นคาตอบของสมการ x2  x 1 0 แลว้ a9  b9 มคี า่ เทา่ ใด

22. ให้หาจานวนในแถวที่ 89 นบั จากซา้ ยมือตัวที่ 3

ตัวอย่าง เช่น แถวท่ี 4 จากซ้ายมอื ตัวที่ 3 คือ 12
แถวท่ี 3 จากซา้ ยมอื ตัวที่ 3 คอื 7

23. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ท่ีมีพ้ืนท่ี 24 3 ตารางหน่วย ถ้า a เป็นความยาวด้านตรง
ข้ามมุม A b เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม B และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม c และ
a  b  20 หนว่ ย c 16 แลว้ | a b | มคี า่ เท่าใด

24. นิยาม n!1234…n เมื่อ n เป็นจานวนเต็ม ถ้าเขียน 20! ในรูป A10n เมื่อ A เป็น
จานวนเตม็ แล้ว n มคี า่ เทา่ ใด

25. ผลรวมของเลขโดด ซึง่ เป็นผลลัพธข์ อง (333…333)2  222…222 เป็นเท่าไร

2006 2006

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 6
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

26. ถ้า x1  2549, x2  2 , x3  3 , x4  4 , x5  5 , x6  6 , x7  7 , x8  8 แล้ว ผลคูณ
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x1x2x3x4 x5x6x7x8 เป็นเทา่ ใด

27. ถา้ x, y, z เป็นจานวนจรงิ บวก ซง่ึ xy  x  y 11, yz  y  z 14, zx  z  x 19 แล้ว
xyz  x  y  z มีคา่ เทา่ ใด

28. ถา้ x และ y เปน็ จานวนจรงิ ซ่งึ x3  y3  (x  y)3  30xy  2,000 แลว้ x  y มคี า่ เท่าใด

29. ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมี AB  20 หน่วย AC  30 หน่วย มุม BAC 120 องศา ถ้า D เป็น
จุดบน BC ทาให้ AD แบง่ คร่ึงมมุ BAC แลว้ AD ยาวก่หี นว่ ย

30. ถ้า x เป็นจานวนจริงโดยที่ 2  x  3 แล้ว x  2 2x  4  x  2 2x  4 มคี ่าเท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 7
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

31. ถ้า 1  1  1  7 1  1  1 15  a
135 357 579  9 11 9 1113 1113 b
โดยที่ a และ b เปน็ จานวนเตม็ ท่ี ห.ร.ม.ของ a และ b เท่ากบั 1 แลว้ a  b มีค่าเทา่ ใด

32. จากระบบสมการ 4y 12  x2 และ 4x 12  y2 ถ้า A และ B เป็นจุดตัดของกราฟของสมการ
แลว้ ระยะระหว่างจุด A และ B เทา่ กบั ก่หี น่วย

33. รปู หกเหลีย่ มมุมเท่า ซึ่งมีความยาวส่ีด้านที่เรียงติดต่อกันเป็น 6, 7, 8, 9 หน่วย จะมีความยาวรอบรูป
ก่ีหน่วย

34. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว มี AB  AC มุม BAC  80 ถ้า D เป็นจุดภายในทา
ให้มมุ DAB  DBA 10 แล้วมมุ ADC มขี นาดกีอ่ งศา

35. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหล่ียม มี P เป็นจุดภายใน ลาก AP พบ BC ท่ี D ลาก BP พบ
CA ท่ี E ลาก CP พบ AB ที่ F ทาให้ PD  PE  PF  4 หน่วย ถ้า AP  BP  CP  6
หน่วย แล้ว AP BPCP มีค่าเท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 8
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

เฉลย : แบบทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์

ตอนท่ี 1 : แบบอัตนัย จานวน 20 ข้อ (ขอ้ 1 – 20) ข้อละ 2 คะแนน รวม 40 คะแนน

ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
1. 3 2. 4 3. 28 4. 26 5. | a2 10 |
6. 18 7. 0 8. 9 9. 99,999 10.  10

11. 9 2 12. 6 3 13. 2549 14. 5 15. 650
181
4

16. (1170 , 22809) 17. 43 18. 6 19. 1,432 20.

ตอนที่ 2 : แบบอัตนยั จานวน 15 ขอ้ (ขอ้ 21 – 35) ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 60 คะแนน

ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
21. 76 22. 7,747 23. 8 24. 4 25. 4,012
26. 384 27. 33 28. 10 29. 12 30. 2 2
31. 211 32. 8 2 33. 45 34. 80๐ 35. 224

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 9

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาตอนต้น

เพอื่ การคัดเลอื กนกั เรียนระดบั เขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษา

ตอนที่ 1 : แบบอัตนัย จานวน 20 ขอ้ (ข้อ 1 – 20) ข้อละ 2 คะแนน รวม 40 คะแนน

1. 77777 หารดว้ ย 10 เหลอื เศษเท่าไร

แนวคดิ เนอ่ื งจาก 7  4(1)  3

จะได้ 7  77777 4n3 สาหรบั บางจานวนเตม็ n

ดงั นั้น 77777 หารดว้ ย 10 เหลอื เศษ 3
ตอบ 3

2. (2  3)2(2  3)3  (2  3)2(2  3)3 มคี ่าเทา่ ใด

แนวคดิ เน่อื งจาก (2  3)(2  3)  22  ( 3)2  4  3 1

ดังนัน้ (2  3)2 (2  3)3  (2  3)2(2  3)3

 [(2  3)(2  3)]2(2  3) [(2  3)(2  3)]2(2  3)

 12 (2  3) 12 (2  3)

ตอบ 4 4

3. ปัจจุบันไมตรีอายุ 42 ปี ถ้าไมตรีมีอายุเท่ากับมนตรีในปัจจุบัน แล้วมนตรีจะมีอายุเป็นคร่ึงหนึ่งของ
ไมตรี ดังนั้น ปัจจบุ ันมนตรมี อี ายุกีป่ ี
แนวคิด ใหป้ จั จบุ ัน มนตรี อายุ x ปี ไมตรี อายุ 42 ปี

เมอื่ ไมตรี ไมตรี อายุ x ปี มนตรี อายุ x ปี
2

เนื่องจากผลตา่ งของอายุคงท่ี จะได้

42  x  x  x
2

42  3x
2

x  28

ตอบ 28 ปี

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 10

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

4. มีนักเรียน 101 คน ครูคนที่ 1 มีของเล่น 75 ช้ิน แจกให้นักเรียนคนละ 1 ชิ้น โดยแจกเรียงลาดับจาก

คนที่ 1 จากซ้ายมือไปขวามือ ครูคนที่ 2 มีของเล่น 51 ชิ้น แจกให้นักเรียนคนละ 1 ชิ้น โดยแจก

เรยี งลาดับจากคนที่ 101 จากขวามือไปซ้ายมือ ครูคนท่ี 3 มีของเล่น 45 ชิ้น แจกให้นักเรียนคนละ 1

ชิ้น โดยแจกเรยี งลาดับจากคนท่ี 40 จากซา้ ยมอื ไปขวามือ มีนกั เรียนกคี่ นท่ไี ด้รบั ของเล่น 3 ชน้ิ

แนวคดิ พจิ ารณาจากตาราง

นกั เรยี นทไ่ี ด้รบั ของเลน่ 3 ชน้ิ คอื คนท่ี 50 ถงึ คนท่ี 75 รวม 26 คน
ตอบ 26 คน

5. ถ้า a เปน็ จานวนเตม็ บวก แลว้ (a  4)(a  2)(a  2)(a  4)  36 มคี ่าเท่าใด

แนวคดิ (a  4)(a  2)(a  2)(a  4)  36  (a  4)(a  4)(a  2)(a  2)  36

 (a2 16)(a2  4)  36

 a4  20a2  64  36

 a4  20a2 100

 (a2 10)2
 | a2 10 |

ตอบ | a2 10 |

6. ใหห้ าจานวนเต็มบวก m ท่ที าให้ 7m2  7m  7 เปน็ เจด็ ยกกาลงั ส่ี
แนวคิด จากโจทย์ 7m2  7m  7  74
จะได้ m2  m 1  73  343

m2  m  342  0

(m 18)(m 19)  0

m  18, 19

แต่ m เปน็ จานวนเต็มบวก ฉะนน้ั m 18
ตอบ 18

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 11

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

7. ถา้ (a2  a)3  (2a2  4)3  (2a2  a  4)3 แลว้ ผลคณู ของคาตอบทง้ั หมดของสมการนีเ้ ปน็ เทา่ ใด

แนวคดิ จากโจทย์ให้ A  a2  a, B  2a2  4,C  3a2  a  4

จะได้ A  B  C และ A3  B3  C3
นนั่ คือ
A3  B3  (A  B)3  A3  B3  3AB(A  B)

ดังนน้ั A  0, B  0, A B  0

จาก A  0 จะได้ a2  a  0 น่นั คอื a  0, 1

จาก B  0 จะได้ 2a2  4  0 นน่ั คอื a  2,  2

จาก A B  0 จะได้ 3a2  a  4  0 นั่นคอื a  4 , 1

3

ดงั น้ัน ผลคณู ของคาตอบทง้ั หมดของสมการนเ้ี ป็น 0

ตอบ 0

8.  1 1  1  … 1 15 2 มคี ่าเท่าใด
 2 1 3 2 4 3 16  

แนวคิด  1 1  1  … 1 2
 2 1 3 2 4 3 16  15 

 ( 2 1 3  2  4  3  …  16  15)2

 (1 16)2  (1 4)2

9

ตอบ 9

9. จานวนเต็มท่ีมากที่สุดทน่ี ้อยกวา่ หรอื เทา่ กับ 1040 มีคา่ เท่าใด

1035  3

แนวคิด 1040  105 1035  105 (1035  3)  105 (3)
1035  3 1035  3 1035  3

 105 (1035  3)  105 (3)
1035  3 1035  3

 105  3(105 )
1035  3

แต่ 3(105 )  1 จานวนเต็มทม่ี ากที่สุดทนี่ ้อยกวา่ หรอื เท่ากับ 1040 คอื 99, 999
1035  3 1035  3

ตอบ 99,999

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 12
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

10. ถา้ a  5 1 และ b  10  5 แล้ว a b 1 มคี า่ เท่าใด
10 1 a b1
10 1

แนวคดิ พจิ ารณา a 5 1  10 1  50  5  10 1
10 1 10 1 9

และ b 10  5  10 1  10  10  50  5
10 1 10 1 9

ฉะน้ัน a b 1 50  5  10 1  10  10  50  5 1
99

 10 22 10
9

และ a b1 50  5  10 1  10  10  50  5 1
99

 2 5  2
9

ดังนนั้ a  b 1  10 22 10  9 10(2 5  2)   10
a  b 1 9 2 52 (2 5  2)

ตอบ  10

11. ถ้า x  1  3 2 แล้ว x3  x3 มีคา่ เท่าใด
x 2

แนวคิด จาก x  1  3 2 จะได้ (x  1)3  (3 2 )3
x2 x2

x3  3×2(1)  3x(1)2  1  27 2
xx x3 4

x3  3(x  1 )  1  27 2
x x3 4

x3  3( 3 2 )  1  27 2
2 x3 4

x3  1  27 2  92  92
x3 4 2 4

ตอบ 9 2

4

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 13

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

12. จากรูป ถ้า AB  3 หน่วย AC  7 หน่วย AD  4 หน่วย แล้วรูปสามเหลี่ยม ABC มีพ้ืนที่ก่ี

ตารางหน่วย

แนวคิด จากรปู ต่อ AD ไปถงึ จุด D ทาให้ CD  AB  3 หนว่ ย
ตอบ
จะไดว้ า่ พืน้ ที่ ABC  พ้นื ที่ ACD

จากสูตรพน้ื ที่ ABC  s(s  a)(s b)(s  c) โดยที่ s  a  b  c

2

จากรูป ACD จะได้วา่ s 7  3  8  9
2

จะไดว้ ่า พ้นื ที่ ACD  9(9  7)(9 3)(9 8)

 9(2)(6)(1)

 9(2)(2 3)

6 3

ดังน้ัน พนื้ ท่ี ABC  6 3 ตารางหน่วย
6 3 ตารางหน่วย

13. ถา้ ab  ab  a  b แลว้ 1 1  1  1 … 1 มคี ่าเทา่ ใด
2 3 4 2549

แนวคิด พิจารณา

1 1  1( 1 )  1 1
2 2 2

2

1 1  1  2 1
2 3 3

 2(13)  1  2
3

3

1 1  1 1  3 1
2 3 4 4

 3( 14 )  1  3
4

4

โดยการคาดเดาจะไดว้ ่า 1 1  1 1 … 1  2549
2 3 4 2549

ตอบ 2549

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 14
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

14. ถา้ a4x  3 2 2 และ a4x  1 2 แล้ว a6x  a6x มคี า่ เทา่ ใด
a2x  a2x
32

แนวคิด พจิ ารณา a4x  1 32 2  32 2
32 2 32 2 98

32 2

ฉะนัน้ a6x  a6x  (a2x )3  (a2x )3  (a2x  a2x )  (a4x  a4x  a4x  a4x )
a2x  a2x a2x  a2x a2x  a2x

 a4x  a4x  a4x  a4x

 3 2 2 13 2 2

5

ตอบ 5

15. ให้ m เป็นจานวนเต็มบวกและ p เป็นจานวนเฉพาะบวก ถ้า m หาร 777 และ 910 แล้วเหลือ

เศษ p เท่ากนั แลว้ m2  p2 มคี า่ เท่าใด

แนวคิด เนื่องจาก m หาร 777 และ 910 แลว้ เหลอื เศษ p เท่ากนั จะได้

777  ma  p เมือ่ a เปน็ จานวนเตม็ บวก (1)

910  mb  p เมอ่ื b เป็นจานวนเตม็ บวก (2)

นา (2) – (1) ได้ 910  777  mb  ma

133  m(b  a)

719  m(b  a)

พิจารณาจากโจทย์ พบว่า m 19 เม่ือ 19 ไปหาร 777 และ 910 แล้วเหลือเศษ
p เท่ากนั คอื 17 น่นั คือ p 17
ดังนัน้ m2  p2 192 172  361 289  650
ตอบ 650

16. พาราโบลาทผี่ า่ นจดุ กาเนิดและผ่านจดุ (1,12) และ (3,6) มจี ุดยอดคือจดุ ใด

แนวคิด ให้ พาราโบลาอยูใ่ นรูป y  ax2  bx  c (1)

ผา่ นจุด (0,0) จะได้ 0  a(0)2  b(0)  c ฉะน้นั c  0

ผ่านจดุ (1,12) จะได้ 12  a  b (2)

ผ่านจดุ (3,6) จะได้ 6  9a  3b ฉะนน้ั 2  3a  b (3)

นา (2)  (3) จะได้ 10  2a ฉะนน้ั a  5

แทน a  5 ใน (2) ได้ 12  5 b นนั่ คือ b 17

แทน a  5 และ b 17 ใน (1) จะได้ พาราโบลาอยู่ในรูป y  5×2 17x

ดังน้ัน จุดยอดของพาราโบลา คอื   b , 4ac  b2    17 , 289 
 2a 4a  10 20

ตอบ  17 , 289 
10 20

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 15

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

17. 35 เมอ่ื เปล่ยี นเปน็ เลขฐานหก แลว้ ตวั เลขสองหลักสุดทา้ ยเป็นเท่าใด

แนวคดิ เน่ืองจาก 35  243

จะได้ 243 163  062  461  360  (1043)6
ดงั น้นั 35 เมอ่ื เปล่ยี นเป็นเลขฐานหก แลว้ ตัวเลขสองหลักสุดทา้ ยเปน็ 43

ตอบ 43

18. สัมประสทิ ธ์ิของ x2 จากการกระจาย (1 x  x2)3 เปน็ เท่าใด
แนวคดิ ให้ a 1 x, b  x2
จะได้ (1 x  x2)3  (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

 (1 x)3  3(1 x)2 x2  3(1 x)(x2 )2  (x2 )3

 1 3x  3×2  x3  3(1 2x  x2 )x2  3(1 x)(x2 )2  (x2 )3

 1 3x  3×2  x3  3×2  6×3  3×4  3(1 x)(x2 )2  (x2 )3

 1 3x  6×2  7×3  3×4  3(1 x)(x2 )2  (x2 )3

ดังนั้น สมั ประสทิ ธิ์ของ x2 คอื 6
ตอบ 6

19. เลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 นามาสร้างจานวนที่มีส่ีหลัก ให้มีค่ามากกว่า 6,000 โดยเลขโดด

แต่ละหลักหา้ มซ้า ยกเว้นตวั เลข 4 เท่าน้ันที่ใชซ้ า้ ได้ จะสรา้ งได้ก่จี านวน
แนวคดิ 1. ทุกตวั ต่างกัน

จานวน 4876 1344 จานวน

2. มี 4 ซ้ากนั 4 ตัว จานวน 41173  84 จานวน
3. มี 4 ซ้ากัน 3 ตวั จานวน
4111  4 จานวน

ดงั นั้น จานวนทงั้ หมดท่สี ร้างได้ เท่ากับ 1344 84  4 1,432 จานวน

ตอบ 1,432 จานวน

20. ถ้า m และ n เปน็ จานวนเตม็ บวกซ่งึ m2  n4 19 แล้ว m2  n4 มคี ่าเท่าใด

แนวคิด เน่ืองจาก m2  n4  (m  n2 )(m  n2 )  19

และ 19 เปน็ จานวนเฉพาะ จะได้ว่า

m  n2 1 (1)

m  n2  19 (2)

นา (1)  (2) จะได้ 2m  20 ฉะนนั้ m 10

นา (2)  (1) จะได้ 2n2 18 ฉะนัน้ n  3

ดังนนั้ m2  n4 102  34 181
ตอบ 181

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 16

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

ตอนที่ 2 : แบบอตั นัย จานวน 15 ข้อ (ขอ้ 21 – 35) ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 60 คะแนน

21. ถ้า a, b เปน็ คาตอบของสมการ x2  x 1 0 แล้ว a9  b9 มีค่าเทา่ ใด

แนวคดิ เน่อื งจาก a, b เปน็ คาตอบของสมการ x2  x 1 0 จะไดว้ า่
a  b 1 และ ab  1

ฉะนั้น a2  b2  (a  b)2  2ab 1 2(1)  3

a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) 13  3(1)(1)  4

a4  b4  (a2  b2 )2  2a2b2  32  2(1)2  7

ทาในทานองเดียวกนั ได้

a5  b5  11

a6  b6  18

a7  b7  29

a8  b8  47

a9  b9  76

หรือ a9  b9  (a3)3  (b3)3  (a3  b3)3  3a3b3(a3  b3)

 (43)  3(1)3(4)

 64 12  76

ตอบ 76

22. ให้หาจานวนในแถวที่ 89 นับจากซา้ ยมอื ตัวท่ี 3

ตวั อย่าง เช่น แถวที่ 4 จากซ้ายมอื ตวั ท่ี 3 คอื 12
แถวที่ 3 จากซา้ ยมือตวั ท่ี 3 คือ 7

แนวคิด ตัวสดุ ทา้ ยของแถวท่ี 1 คอื 12 1
ตวั สดุ ท้ายของแถวที่ 2 คอื 22  4
ตัวสดุ ท้ายของแถวท่ี 3 คือ 32  9

ตัวสดุ ทา้ ยของแถวที่ 88 คอื 882  7,744
ดงั นน้ั จานวนในแถวที่ 89 นับจากซา้ ยมอื ตวั ท่ี 3 คอื 7,744 3  7,747
ตอบ 7,747

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 17

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

23. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ที่มีพื้นที่ 24 3 ตารางหน่วย ถ้า a เป็นความยาวด้านตรง
ข้ามมุม A b เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม B และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม c และ
a  b  20 หน่วย c 16 แลว้ | a b | มีคา่ เทา่ ใด

แนวคิด จากสูตรพืน้ ที่ ABC  s(s  a)(s  b)(s  c) โดยท่ี s  abc
2

จากรูป ABC จะไดว้ ่า s 20 16  18
2

จะไดว้ า่ พนื้ ที่ ABC  18(18  a)(18  20  a)(18 16)

18(18  a)(18  20  a)(18 16)  24 3

6 (18  a)(a  2)  24 3

(18  a)(a  2)  4 3

18a  36  a2  2a  48

a2  20a  84  0

(a 14)(a  6)  0

a  6,14

ถา้ a  6 จะได้ b 14 หรอื ถ้า a 14 จะได้ b  6
ดังนน้ั | a b ||14  6 | 8
ตอบ 8

24. นิยาม n!1234…n เม่ือ n เป็นจานวนเต็ม ถ้าเขียน 20! ในรูป A10n เมื่อ A เป็น
จานวนเตม็ แล้ว n มคี ่าเท่าใด
แนวคดิ พิจารณา 20! มี 5 คณู กันท้ังหมดก่ตี วั
ผลคณู ของจานวนเตม็ บวกตั้งแต่ 1 ถงึ 20 มี 5 ใน 5,10,15,20

ดงั นั้น ผลคูณของจานวนเต็มบวกตัง้ แต่ 1 ถงึ 20 มี 10 คณู กนั อยู่ 4 ตัว
เพราะฉะนั้น n  4
ตอบ 4

25. ผลรวมของเลขโดด ซึง่ เป็นผลลพั ธข์ อง (333…333)2  222…222 เป็นเทา่ ไร

2006 2006

แนวคดิ พจิ ารณา 32  2  11

332  22 1111

ดังนัน้ 3332  222 111111
(333…333)2  222…222  111…111

2006 2006 4012

เพราะฉะนน้ั ผลรวมของเลขโดด คือ 4,012

ตอบ 4,012

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 18
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

26. ถ้า x1  2549, x2  2 , x3  3 , x4  4 , x5  5 , x6  6 , x7  7 , x8  8 แล้ว ผลคูณ
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

x1x2x3x4 x5x6x7x8 เป็นเท่าใด

แนวคดิ จากโจทย์ x1x2  2, x3x4  4, x5x6  6, x7 x8  8

ดังน้ัน x1x2x3x4 x5x6x7 x8  2 4 68  384

ตอบ 384

27. ถ้า x, y, z เปน็ จานวนจรงิ บวก ซง่ึ xy  x  y 11, yz  y  z 14, zx  z  x 19 แลว้

xyz  x  y  z มคี า่ เท่าใด

แนวคดิ จาก xy  x  y 11 จะได้ xy  x  y 1 12

ฉะนน้ั (x 1)(y 1) 12 (1)

จาก yz  y  z 14 จะได้ yz  y  z 1 15

ฉะน้นั (y 1)(z 1) 15 (2)

จาก zx  z  x 19 จะได้ zx  z  x 1 20

ฉะนน้ั (z 1)(x 1)  20 (3)

นา (1) (2) ได้ ( y 1)2  1215  9 นั่นคอื y  2
20
(3)

แทน y  2 ใน (1) ได้ x  3

แทน y  2 ใน (1) ได้ z  4

ดงั นน้ั xyz  x  y  z  3 2 4  3 2  4  33

ตอบ 33

28. ถ้า x และ y เป็นจานวนจรงิ ซ่ึง x3  y3  (x  y)3  30xy  2,000 แล้ว x  y มีค่าเท่าใด

แนวคิด จาก x3  y3  (x  y)3  30xy  2, 000

x3  3×2 y  3xy2  y3  (x  y)3  3×2 y  3xy2  30xy  2, 000

(x  y)3  (x  y)3  3xy(x  y 10)  2, 000  0

2(x  y)3  2(10)3  3xy(x  y 10)  0

2[(x  y 10)((x  y)2 10(x  y) 102 )]  3xy(x  y 10)  0

(x  y 10)[2(x  y)2  20(x  y)  2(102 )  3xy]  0

แต่ 2(x  y)2  20(x  y)  2(102)  3xy  0

ดังนัน้ x  y 10  0 นั่นคือ x  y  10

ตอบ 10

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 19

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

29. ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมี AB  20 หน่วย AC  30 หน่วย มุม BAC 120 องศา ถ้า D เป็น

จดุ บน BC ทาให้ AD แบ่งคร่ึงมมุ BAC แลว้ AD ยาวกหี่ นว่ ย

แนวคิด จากรปู ลาก DE || BA จะได้ BAD  ADE  60
ตอบ ฉะนั้น DEA  60 และได้
ทาใหไ้ ด้วา่ ฉะน้ัน AD  DE  EA  x

ดงั นนั้ ABC EDC นัน่ คอื AB  CA
DE CE
เพราะฉะน้นั
12 หนว่ ย 20  30 x x  12
x 30 

AD 12 หน่วย

30. ถา้ x เปน็ จานวนจริงโดยท่ี 2  x  3 แล้ว x  2 2x  4  x  2 2x  4 มคี า่ เท่าใด

แนวคดิ ให้ P  x  2 2x  4  x  2 2x  4

P2  x  2 2x  4  2 (x  2 2x  4)(x  2 2x  4)  x  2 2x  4

 2x  2 x2  4(2x  4)

 2x  2 x2  8x 16

 2x  2 (x  4)2 x  4 | x  4 |  (x  4)

 2x  2| x  4|

 2x  2(x  4)

 2x  2x 8

8

ดังนนั้ P  8  2 2
ตอบ 2 2

31. ถา้ 1  1  1  7 1  1  1 15  a
135 357 579  9 11 9 1113 1113 b

โดยที่ a และ b เป็นจานวนเต็มท่ี ห.ร.ม.ของ a และ b เทา่ กับ 1 แล้ว a  b มคี า่ เทา่ ใด

แนวคิด พจิ ารณา 1 1 5  1  1  1 
3 4 13 35

3 1 7  1  1  1 
5 4 35 57

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 20
การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2549

ดงั นน้ั 1  1 7  1 9  7  1  9 1  1 15
135 35 57 9 11 1113 1113

 1  1  1  1  1  1  1  …  1  1 
4 13 35 35 57 57 79 1113 13 15

 1  1  1 
4 13 13 15

 1  1  1 
4 3 195

 1  65 1 
4 195

 1  64 
4 195

 16
195

และ ห.ร.ม.ของ 16 และ 195 เท่ากับ 1 ดงั นนั้ a b 16 195  211
ตอบ 211

32. จากระบบสมการ 4y 12  x2 และ 4x 12  y2 ถ้า A และ B เป็นจุดตัดของกราฟของสมการ

แล้วระยะระหวา่ งจดุ A และ B เทา่ กบั กี่หนว่ ย

แนวคดิ ให้ 4y  12  x2 (1)

4x  12  y2 (2)

จาก (1) ได้ y  12  x2 (3)
4

แทน (3) ใน (2) ได้ 4x  12   12  x2 2  12   144  24×2  x4 
 4   16 
   

4x  192 144  24×2  x4
16

x4  24×2  64x  48  0

(x  2)(x  2)(x  2)(x  6)  0

x  2, 6

ถา้ x  2 จะได้ y  12  22  8  2

44

ถา้ x  6 จะได้ y  12  (6)2  24  6

44

ฉะน้นั จดุ ตดั ของกราฟของสมการคือ A  (2,2) และ B  (6,6)
ดังน้ัน ระยะระหว่างจดุ A และ B เท่ากบั

(6  2)2  (6  2)2  82  82  8 2

ตอบ 8 2 หนว่ ย

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 21

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

33. รปู หกเหลยี่ มมมุ เท่า ซงึ่ มีความยาวส่ีด้านที่เรียงติดต่อกันเป็น 6, 7, 8, 9 หน่วย จะมีความยาวรอบรูป

กห่ี น่วย

แนวคิด จากรปู ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ มี BC  21
ตอบ
และได้วา่ BA  21 ฉะนนั้ y4

และไดว้ ่า AC  21 ฉะนนั้ x  y  6  21

นัน่ คอื x 11

ดังนัน้ ความยาวรอบรปู หกเหลย่ี มมุมเทา่ เทา่ กบั 6  7 89  4 11 45 หน่วย

45 หน่วย

34. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว มี AB  AC มุม BAC  80 ถ้า D เป็นจุดภายในทา
ใหม้ ุม DAB  DBA 10 แล้วมมุ ADC มีขนาดกีอ่ งศา

แนวคิด จากรปู สร้างจุด E ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ให้ E AC  ECA 10
ตอบ ลาก ED จะได้ ABD  ACE (ม.ด.ม.) ฉะนน้ั AD  AE
แต่ DAE  60 ฉะนั้น ADE เป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่
นั่นคือ CED 140 และ DE  CE ฉะนั้น EDC  20
ดังนั้น ADC  80

80

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 22

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2549

35. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มี P เป็นจุดภายใน ลาก AP พบ BC ที่ D ลาก BP พบ

CA ที่ E ลาก CP พบ AB ท่ี F ทาให้ PD  PE  PF  4 หน่วย ถ้า AP  BP  CP  6

หนว่ ย แลว้ AP BPCP มีคา่ เท่าใด

แนวคิด จากรปู ให้ AP  x, BP  y,CP  z จะได้ x  y  z  6

ฉะน้นั BCP 1  BC  PD 4
ABC 2 AD 
  (1)
1 x 4
2  BC 

CAP 1  CA  PE 4
ABC 2 y4
  (2)
1
2  CA  BE

ABP 1  AB  PF 4
ABC 2 AB CF z4
  (3)
1
2 

นา (1)  (2)  (3) ได้ 1 4 4  y 4  z 4 4
x 4 

(x  4)( y  4)(z  4)  4(x  4)( y  4)  4( y  4)(z  4)  4(z  4)(x  4)

xyz  4xy  4 yz 16x 16 y 16z  64  4(xy  4x  4 y 16  yz  4 y  4z 16  zx  4z  4x 16)

xyz  16x 16 y 16z 128

xyz  16(x  y  z) 128

xyz  16(6) 128

xyz  96 128  224

ดังน้ัน AP BPCP  xyz  224
ตอบ 224

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 1

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

แบบทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์ ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาตอนต้น

เพือ่ การคัดเลอื กนกั เรียนระดบั เขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษา

ตอนที่ 1 : แบบอัตนัย จานวน 20 ข้อ (ข้อ 1 – 20) ข้อละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. ผลบวกทั้งหมดของจานวนนบั ท่ีหาร 2,550 ลงตัว มีค่าเท่าใด

2. ถ้า 1 1  48 แล้ว x มคี ่าเท่าใด
6 39
1 
1 x
5

3. 1 2(1 12)  3(1 13)  4(1 1 )  …  100(1 1 ) มคี ่าเท่าใด
4 100

4. จานวนตอ่ ไปนี้ 2514, 4258, 8171, 16128, 32103 จานวนใดมคี ่ามากที่สดุ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 2

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

5. ขายสินค้า 2 ช้ินไปราคาชิ้นละ 9,999 บาท ซ่ึงช้ินแรกได้กาไร 10% ส่วนช้ินท่ีสองขาดทุน 10% ถ้า

ขายไปทั้งสองช้ิน แลว้ ไดก้ าไรหรือขาดทนุ กี่บาท

6. ถา้ x  3 5 1 และ y  3 5 1 แล้ว x6  y6  3×2 y2(x2  y2) มีคา่ เท่าใด

22

7. หนังสือเล่มหนึ่งมีจานวนหน้าไม่เกิน 100 หน้า ถ้าฉีกหนังสือออก 1 แผ่น แล้วนาเลขหน้าของหนังสือ
บวกกันจะได้ 2,195 จงหาว่าหนงั สอื เลม่ นี้มที งั้ หมดกห่ี น้า

8. จากรูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นท่ี 18 ตารางหน่วย โดยที่ AB  BC, BE  AC และ AD  BC
ถ้า AC  4 หนว่ ย แลว้ AD ยาวเท่ากับก่หี นว่ ย

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 3

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

9. ถา้ รูปสามเหลี่ยมรูปหน่งึ มีจดุ ยอดสามจุดคือจดุ (5, 0), (0,0) และจุดยอดของกราฟ

y  x2  5x  7 แล้วรปู สามเหลีย่ มรูปนมี้ ีพืน้ ทีก่ ี่ตารางหน่วย

10. นารูปห้าเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่ามาต่อกันดังรูป โดยให้แต่ละรูปที่มาต่อกันมีด้านร่วมกันเพียงหนึ่งด้าน
ถ้าให้ n แทนจานวนรูปท่ีนามาต่อกัน และ f (n) แทนจานวนด้านของรูป n แล้ว f (2007) มีค่า

เทา่ ใด

11. จากรูป ABCDEF เป็นรูปหกเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า ถ้าอัตราส่วนระหว่างพ้ืนที่ส่วนท่ีแรเงากับพื้นท่ี
รูปหกเหล่ียม ABCDEF เท่ากับ a :b และ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้ว a2  b2 มีค่า
เท่าใด

12. 2404  2400  45 มีค่าเท่าใด

2400  3

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 4

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

13. สุ่มหยิบสลากท่ีมีเลขโด 1 ถึง 1000 เขียนกากับไว้ ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ ถ้าความน่าจะเป็นที่ได้

สลากท่ีจานวนนั้นยกกาลังสองแล้วหารด้วย 2 ลงตัว เท่ากับ a โดยที่ b0 และ ห.ร.ม. ของ a
b
และ b เทา่ กบั 1 แลว้ a  b มคี ่าเทา่ ใด

14. แดงซ้อมยิงปืน โดยวางกระบวกปนื ทามุม 30 กบั แนวพ้ืนราบ และมเี ปา้ ทตี่ อ้ งการยงิ อยู่สูงจากพ้ืนราบ
12 เมตร ถ้าจับเวลาเมื่อเริ่มยิงจนลูกกระสุนกระทบเป้า จะใช้เวลา 3 วินาที แล้วกระสุนมีความเร็วก่ี
เมตรต่อวนิ าที

15. รปู สี่เหลีย่ มจัตุรัสมีเส้นทแยงมุมยาว 14 เซนติเมตร บรรจุในวงกลม โดยมีจดุ ยอดทั้งสอี่ ยู่บนเส้นรอบวง

แล้วพน้ื ทวี่ งกลมทีอ่ ยูน่ อกรปู ส่เี หล่ยี มจัตรุ ัสเป็นกเี่ ทา่ ของพ้ืนทีร่ ปู สเ่ี หล่ยี มจตั ุรัส (กาหนด   22 )
7

16. นาลวดเส้นหนึ่งมาขดเป็นวงกลมได้พ้ืนท่ีภายในวงกลมเท่ากับ 1,386 ตารางเซนติเมตร แต่นามาขด

เป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากโดยให้ความยาวด้านแต่ละด้านเป็นจานวนเต็มท่ีมากกว่า 30 เซนติเมตร แล้ว

รูปสเ่ี หล่ยี มมุมฉากน้มี พี นื้ ที่มากที่สุดกีต่ ารางเซนติเมตร (กาหนด   22 )
7

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 5

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

17. จงหาจุดตัดของกราฟของสมการ x 3y 1 และ 2×2 3xy  20  0 มีระยะห่างกันกี่หน่วย

18. จากรปู กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากท่ีมมี มุ BCA เป็นมุมฉาก BN และ CM เป็นเส้น
มัธยฐาน ถา้ BN  CM และ BC ยาว 6 หน่วย แล้ว BN ยาวกห่ี นว่ ย

19. A ขับรถยนต์ด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง หลังจากออกเดินทางได้ 45 นาที B ขับรถยนต์
ออกจากตาแหน่งเดยี วกบั A ดว้ ยความเร็ว 120 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง เป็นเวลา 20 นาที จากนั้นหยุด
พกั 10 นาที แลว้ เดินทางต่อด้วยความเรว็ 90 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง จงหาว่า B จะเดินทางทัน A เมื่อ
A เดนิ ทางไดก้ ชี่ ่วั โมง กนี่ าที

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 6
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2550

20. เศษส่วนจานวนหน่ึง เมื่อนา 2 มาบวกเลขโดดของตัวเศษและตัวส่วน จะทาให้เศษส่วนน้ันเป็น 7

10

และเมื่อนา 4 มาลบเลขโดดของตัวเศษและตัวส่วน จะทาให้เศษส่วนนั้นเป็น 5 จงหาว่าเศษส่วน

8
จานวนนนั้ เปน็ เทา่ ใด

ตอนที่ 2 : แบบอัตนยั จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 21 – 30) ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. จงหาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าท่ีมีขนาดใหญ่ที่สุดท่ีบรรจุอยู่ในรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสที่มี
ความยาวด้าน 1 หนว่ ย

22. ถ้าชายคนหนึ่งยืนอยู่บนพื้นราบท่ีจุด A จะมองเห็นยอดเสาธงด้วยมุมเงย 15 และถ้าเขาเดินเข้าหา
เสาธง 50 เมตร เขาจะมองเห็นยอดเสาธงด้วยมุมเงย 45 จงหาความสูงของเสาธงนี้ ตอบในรูป
ทศนิยมตาแหน่ง 2 ตาแหนง่ (กาหนด 3 1.732 )

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หน้า 7

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

23. ถ้า d เป็น ห.ร.ม. ของ n 1 กับ n2  n 1 เม่ือ n เป็นจานวนนับ แล้วผลบวกของ d ที่เป็นไปได้

ทง้ั หมดมคี ่าเท่าใด

24. ถ้า 19x  8  A 7  B แล้ว A  B มีค่าเท่าใด
2×2  x  21 2x  x3

25. ถ้า ABCDเป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 28 หน่วย โดยมี M เป็นจุดบน AD ท่ีทาให้ AM  3MD
มี I เป็นจุดบน CD ที่ทาให้มุม IBM เท่ากับมุม ABM และมี N เป็นจุดบน CD ที่ทาให้ BN
แบง่ คร่ึงมุม IBC แลว้ พ้ืนทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม BMN เท่ากบั กีต่ ารางหนว่ ย

1 a b

26. ถ้า 60a  3 และ 60b  5 แลว้ 122(1b) มีค่าเท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 8

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

27. กาหนด ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 900 หน่วย โดยท่ี O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม

และมี E, F เป็นจุดบนด้าน AD โดยท่ีจุด E อยู่ระหว่าง A กับ F ถ้า DF  400 หน่วย และ

มุม EOF  45 แลว้ AE ยาวกห่ี น่วย

28. ABCDEFGH เป็นรูปแปดเหล่ียมมุมเท่าที่มีด้านยาว 2, 2 2, 4, 4 2, 6, 7, 7, 8 จะมีพ้ืนท่ีก่ี
ตารางหนว่ ย

29. กาหนด x, y, z เปน็ จานวนจริงบวก ซ่ึงสอดคล้องกับระบบสมการ

x2 ( y  z)2  (3×2  x 1) y2z2, y2 (z  x)2  (4y2  y 1)z2x2, z2 (x  y)2  (5z2  z 1)x2 y2

แลว้ 1  1  1 มคี า่ เท่าใด
x y z

30. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอด A(1, 6), B(2,3) และ C(3,  4) ถ้าเล่ือนจุด A ขนาน

ไปทางขวา 3 หน่วย ข้ึนไปข้างบน 2 หน่วย สะท้อนจุด B ข้ามแกน Y และหมุนจุด C รอบจุด
กาเนิดทวนเขม็ นาฬกิ าเป็นมุม 180 แล้วรูปสามเหล่ียมท่ีเกิดจากการเลื่อนดังกล่าวจะมีพื้นที่เป็นกี่เท่า
ของรูปสามเหลีย่ ม ABC

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 9
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2550

เฉลย : แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์

ตอนท่ี 1 : แบบอตั นัย จานวน 20 ข้อ (ขอ้ 1 – 20) ข้อละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ข้อ คาตอบ

1. 6,696 2. 4 3. 5,149 4. 4258 5. ขาดทุน
202 บาท

6. 5 7. 67 8. 36 85 9. 15 10. 8,029

85 8

11. 13 12. 15 13. 203 14. 8 15. 4

7

16. 1,089 17. 3 10 18. 3 19. 7 ชม.15 น. 20. 19

28

ตอนที่ 2 : แบบอัตนยั จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 21 – 30) ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ ขอ้ คาตอบ ขอ้ คาตอบ
21. 2 2  3 22. 18.30 23. 4 24. -2 25. 350
26. 2 27. 90 28. 50  56 2 29. 4 30. 0.75

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 10

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ระดบั ช้นั มธั ยมศกึ ษาตอนตน้

เพ่อื การคดั เลอื กนักเรียนระดับเขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษา

ตอนที่ 1 : แบบอัตนยั จานวน 20 ข้อ (ข้อ 1 – 20) ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. ผลบวกทั้งหมดของจานวนนบั ทหี่ าร 2,550 ลงตวั มคี า่ เทา่ ใด

แนวคิด เน่ืองจาก 2550  2352 17

ฉะนนั้ ผลบวกทัง้ หมดของจานวนนบั ทหี่ าร 2,550 ลงตวั มีคา่ เท่ากบั

(1 2)(1 3)(1 5  52)(117)  (3)(4)(31)(18)  6,696

ตอบ 6,696

2. ถ้า 1 1  48 แล้ว x มคี า่ เทา่ ใด
6 39
1 
1 x
5

แนวคิด พิจารณา 48  1 9 1 1  1 1  1 1 1  1
39 39 39 1 6
9 1  30 6 1
9 9 1 4
5 5

ฉะนนั้ x  4

ตอบ 4

3. 1 2(1 1 )  3(1  13)  4(1 14)  …  100(1  1 ) มีค่าเท่าใด
2 100

แนวคดิ 1 2(1 12)  3(1 13)  4(1 1 )  …  100(1 1 )
4 100

 1 2( 23)  3( 43)  4( 54)  … 100(110001)

 1 3  4  5  … 101

 1 2  3  4  5  … 101 2

 1 2  3  4  5  … 101 2

 101(101  1)  2
2

 5151 2

 5,149

ตอบ 5,149

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 11

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

4. จานวนตอ่ ไปน้ี 2514, 4258, 8171, 16128, 32103 จานวนใดมคี า่ มากทีส่ ดุ

แนวคิด ทาฐานใหเ้ ท่ากนั เปน็ 2

2514  2514 4258  (22 )258  2516

8171  (23 )171  2513 16128  (24 )128  2512

32103  (25 )103  2515

เมอ่ื พิจารณาเลขยกกาลังที่มีฐานเดยี วกัน ถ้าเลขช้ีกาลังใดมากว่าจานวนน้ันก็

มากกว่าด้วย ฉะนน้ั จานวนทใ่ี ห้มาเรยี งจากน้อยไปหามาก คอื

16128,8171, 2514, 32103, 4258

ตอบ 4258

5. ขายสินค้า 2 ชิ้นไปราคาช้ินละ 9,999 บาท ซึ่งช้ินแรกได้กาไร 10% ส่วนชิ้นท่ีสองขาดทุน 10% ถ้า

ขายไปทั้งสองชิ้น แล้วไดก้ าไรหรอื ขาดทุนกบี่ าท

แนวคดิ ขายชนิ้ แรกไดก้ าไร 10%

ฉะนั้น ขาย 110 บาท จากทุน 100 บาท

นัน่ คือ ขาย 9, 999 บาท จากทนุ 100  9, 999  9, 090 บาท
110

ดังนนั้ ขายชนิ้ แรกได้กาไร 9,999 9,090  909 บาท

ขายช้ินท่ีสองขาดทนุ 10%

ฉะนนั้ ขาย 90 บาท จากทุน 100 บาท

น่ันคอื ขาย 9, 999 บาท จากทุน 100  9, 999  11,110 บาท
90

ดังน้ัน ช้นิ ที่สองขาดทนุ 11,110 9,999 1,111 บาท

เพราะฉะน้ัน ขายไปสองชนิ้ ขาดทนุ 1,111909  202 บาท

ตอบ ขาดทนุ 202 บาท

6. ถา้ x 3 5 1 และ y 3 5 1 แล้ว x6  y6  3×2 y2 (x2  y2 ) มคี ่าเท่าใด
2 2

แนวคิด พจิ ารณา

x6  y6  3×2 y2(x2  y2)  x6  3×4 y2  3×2 y4  y6

 (x2 )3  3(x2 )2 y2  3×2 ( y2 )2  ( y2 )3

 [x2  y2 ]3

 [(x  y)(x  y)]3

 [( 3 5 1  3 5 1)( 3 5 1  3 5 1]3
2 22 2

 (1)( 3 5)3

5

ตอบ 5

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 12

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

7. หนังสือเล่มหน่ึงมีจานวนหน้าไม่เกิน 100 หน้า ถ้าฉีกหนังสือออก 1 แผ่น แล้วนาเลขหน้าของหนังสือ
บวกกนั จะได้ 2,195 จงหาว่าหนังสอื เล่มนม้ี ที ง้ั หมดก่หี นา้

แนวคิด ทดลองบวกตัวเลขหนา้ จาก 1 ถงึ จานวนนับอน่ื ๆ ใหไ้ ด้ผลลพั ธใ์ กลเ้ คียงกับ 2,195

เชน่ 1 2 3  … 60  60(60 1)  30(61)  1,830
2

1 2 3  … 66  66(66 1)  33(67)  2, 211
2

จงึ ได้ 2,211 2,195 16 บาท

ซง่ึ ไม่สามารถหาจานวนทม่ี อี ยตู่ ิดกนั รวมกนั ได้ 16

จงึ ทดลอง 1 2  3  … 67  67(67 1)  67(34)  2, 278
2

จึงได้ 2, 278  2,195  83  41 42

ดงั น้ัน หนังสอื เล่มนมี้ ที ้งั หมด 67 หนา้

ตอบ 67 หนา้

8. จากรูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 18 ตารางหน่วย โดยท่ี AB  BC, BE  AC และ AD  BC
ถ้า AC  4 หนว่ ย แล้ว AD ยาวเท่ากบั กห่ี น่วย

แนวคิด เน่ืองจาก ABC มี AB  BC ดังนั้น ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่ัว
ตอบ จะได้ BCA  BAC และ AE  EC  2 (สมบตั ิของสามเหล่ียมหน้าจัว่ )

และ พนื้ ท่ี ABC  1  AC  BE
2

18  1  4 BE
2

BE  9

พิจารณา BCE จะได้ BC2  BE2  EC2  92  22  85

น่ันคือ BC  85

เนื่องจาก ADC BEC (BCE  ACD, BEC  ADC,C AD  CBE)

จะได้ AD  AC นน่ั คอื AD  4

BE BC 9 85

ดงั น้ัน AD  36  36 85
85 85

36 85
85

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 13

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

9. ถา้ รูปสามเหลี่ยมรูปหนงึ่ มีจุดยอดสามจุดคอื จุด (5, 0), (0,0) และจดุ ยอดของกราฟ
y  x2  5x  7 แลว้ รูปสามเหลี่ยมรูปนี้มีพ้ืนทก่ี ตี่ ารางหน่วย

แนวคดิ พจิ ารณา y  x2  5x  7 จะได้ y  x2  5x  (5)2  7  (5)2

22

 (x  5)2  7  25
24

 (x  5)2  3
24

จะได้จุดยอดของ y  x2  5x  7 คือ ( 5 , 3)

24

ฉะนั้นรูปสามเหล่ยี มรูปหนึง่ มีจุดยอดสามจดุ คือจดุ (5, 0), (0, 0), ( 5 , 34)
2

ดังนั้นพืน้ ท่ีรูปสามเหลีย่ ม  1  5 3  15 ตารางหนว่ ย
2 4 8

ตอบ 15 ตารางหนว่ ย

8

10. นารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามาต่อกันดังรูป โดยให้แต่ละรูปที่มาต่อกันมีด้านร่วมกันเพียงหน่ึงด้าน
ถ้าให้ n แทนจานวนรูปท่ีนามาต่อกัน และ f (n) แทนจานวนด้านของรูป n แล้ว f (2007) มีค่า

เทา่ ใด

แนวคิด พิจารณาตาราง

จากตารางจะได้ f (n)  4n 1
ดงั น้นั f (2007)  4(2007) 1  8,029
ตอบ 8,029

11. จากรูป ABCDEF เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ถ้าอัตราส่วนระหว่างพื้นท่ีส่วนท่ีแรเงากับพ้ืนที่
รูปหกเหลี่ยม ABCDEF เท่ากับ a :b และ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้ว a2  b2 มีค่า
เท่าใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หน้า 14

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

แนวคิด จากรปู อตั ราส่วนระหวา่ งพน้ื ท่ีส่วนทแ่ี รเงากบั พ้ืนท่ีรปู หกเหลย่ี ม ABCDEF เทา่ กบั

12  2
18 3

ฉะน้นั a  2, b  3 ดงั น้นั a2  b2  22  32  4  9 13

ตอบ 13

12. 2404  2400  45 มีคา่ เทา่ ใด

2400  3

แนวคดิ

2404  2400  45  2400 (24 1)  45
2400  3 2400  3

 2400 (15)  45
2400  3

 15(2400  3)
2400  3

 15

ตอบ 15

13. สุ่มหยิบสลากท่ีมีเลขโด 1 ถึง 1000 เขียนกากับไว้ ใบละ 1 จานวน มา 1 ใบ ถ้าความน่าจะเป็นท่ีได้

สลากที่จานวนนั้นยกกาลังสองแล้วหารด้วย 2 ลงตัว เท่ากับ a โดยที่ b0 และ ห.ร.ม. ของ a
b

และ b เท่ากบั 1 แลว้ a  b มคี ่าเทา่ ใด

แนวคิด พจิ ารณาจานวนคูท่ ย่ี กกาลงั สองแลว้ ไม่เกนิ 1000 ได้แก่ 22,42,62,…,302

ซึง่ มที ้งั หมด 15 จานวน

ฉะน้นั ความน่าจะเป็นท่ไี ด้ คือ 15  3

1000 200

จะได้ a  3, b  200 ดงั นนั้ a  b  3 200  203

ตอบ 203

14. แดงซอ้ มยงิ ปืน โดยวางกระบวกปนื ทามมุ 30 กับแนวพ้นื ราบ และมเี ปา้ ทตี่ ้องการยิงอยู่สูงจากพ้ืนราบ
12 เมตร ถา้ จับเวลาเม่ือเร่มิ ยิงจนลูกกระสุนกระทบเป้า จะใช้เวลา 3 วินาที แล้วกระสุนมีความเร็วก่ี
เมตรตอ่ วนิ าที

แนวคดิ จากรปู sin 30  12
x

จะได้ 1  12

2x

ฉะน้นั x  24

ดงั น้นั ในเวลา 3 วนิ าที กระสนุ มีปนื เคลื่อนทไ่ี ดร้ ะยะทาง 24 เมตร
เพราะฉะนั้น อัตราเร็วของกระสนุ ปนื 8 เมตร/วนิ าที

ตอบ 8

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ตน้ หนา้ 15

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

15. รูปสี่เหลีย่ มจัตุรัสมีเส้นทแยงมุมยาว 14 เซนตเิ มตร บรรจุในวงกลม โดยมจี ุดยอดทงั้ สอี่ ยู่บนเส้นรอบวง

แล้วพ้ืนท่ีวงกลมท่ีอยูน่ อกรปู สี่เหล่ียมจัตุรัสเป็นก่ีเทา่ ของพน้ื ที่รปู สเ่ี หล่ยี มจัตรุ ัส (กาหนด   22 )

7

แนวคดิ จากรูป พ้ืนทว่ี งกลมที่อยู่นอกรูปสเี่ หลี่ยมจตั รุ ัส

  r2  (1 1414)
2

 ( 22  7  7)  (7 14)
7

 7(22 14)  56

ดงั นน้ั พ้นื ทวี่ งกลมท่ีอยูน่ อกรูปสีเ่ หลยี่ มจัตุรัสเป็น 7 56  4 ของพืน้ ที่รูปส่ีเหล่ียมจตั รุ สั
14 7

ตอบ 4

7

16. นาลวดเส้นหน่ึงมาขดเป็นวงกลมได้พ้ืนที่ภายในวงกลมเท่ากับ 1,386 ตารางเซนติเมตร แต่นามาขด

เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากโดยให้ความยาวด้านแต่ละด้านเป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 30 เซนติเมตร แล้ว

รปู ส่เี หลย่ี มมมุ ฉากน้มี ีพื้นทม่ี ากท่ีสดุ กีต่ ารางเซนติเมตร (กาหนด   22 )

7

แนวคิด จากรูป พืน้ ท่ีวงกลม เท่ากับ 1,386 ตารางเซนติเมตร

จะไดว้ า่ r2 1,386 ฉะน้นั r2  1,386 7  63 7
22

นัน่ คือ r  21 และไดว้ า่ เส้นรอบวง เท่ากับ 2 r  2  22  21  132
7

ฉะน้ัน ความกวา้ ง + ความยาว เท่ากบั 66 ซนติเมตร

แต่ความยาวดา้ นแตล่ ะด้านเปน็ จานวนเตม็ ที่มากกว่า 30 เซนตเิ มตร

ดังนน้ั พืน้ ที่ 3135 1,085 ตารางเซนติเมตร

พน้ื ที่ 3234 1,088 ตารางเซนติเมตร

พืน้ ท่ี 3333 1,089 ตารางเซนตเิ มตร

ตอบ 1,089 ตารางเซนติเมตร

17. จงหาจดุ ตัดของกราฟของสมการ x 3y 1 และ 2×2 3xy  20  0 มีระยะห่างกนั ก่หี น่วย

แนวคิด จากโจทย์ได้ x 1 3y แทนใน 2×2 3xy  20  0

จะไดว้ า่ 2(1 3y)2  3(1 3y) y  20  0

2(1 6 y  9 y2 )  (3y  9 y2 )  20  0

2 12 y 18y2  3y  9 y2  20  0

9 y2  9 y 18  0

y2  y  2  0

( y 1)( y  2)  0

y  1, 2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 16

การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

แทน y 1 ได้ x 1 3(1)  4

แทน y  2 ได้ x 1 3(2)  5

ฉะนัน้ จดุ ตดั (4,1) และ (5, 2)

ดังนนั้ ระยะห่างระหว่างจดุ คอื (5  4)2  (2 1)2  81 9  90  3 10

ตอบ 3 10 หน่วย

18. จากรูป กาหนด ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉากทม่ี ีมมุ BCA เป็นมุมฉาก BN และ CM เป็นเส้น
มธั ยฐาน ถา้ BN  CM และ BC ยาว 6 หน่วย แล้ว BN ยาวก่ีหนว่ ย

แนวคิด จากรูป BCN  BOC  90 ,CBN  OBC (มุมร่วม) และ BNC  BCO
ตอบ
ฉะนั้น BCN BOC และไดว้ ่า BN  BC
BC BO

ให้ BN  3x จะได้ BO  2x และได้วา่ 3x  6
6 2x

ฉะน้ัน 6×2  6 นนั่ คอื x2 1

ดงั นนั้ x 1

เพราะฉะนัน้ BN  3(1)  3 หน่วย

3 หนว่ ย

19. A ขับรถยนต์ด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อช่ัวโมง หลังจากออกเดินทางได้ 45 นาที B ขับรถยนต์
ออกจากตาแหนง่ เดยี วกบั A ด้วยความเร็ว 120 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็นเวลา 20 นาที จากน้ันหยุด
พกั 10 นาที แลว้ เดินทางตอ่ ด้วยความเร็ว 90 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง จงหาว่า B จะเดินทางทัน A เม่ือ
A เดนิ ทางไดก้ ่ีชั่วโมง กีน่ าที
แนวคิด A เดนิ ทาง x ชว่ั โมง ด้วยความเรว็ 80 กิโลเมตร/ชัว่ โมง ไดท้ าง 80x กิโลเมตร
B เดนิ ทาง ด้วยความเร็ว 120 กโิ ลเมตร/ชัว่ โมง เปน็ เวลา 20 นาที

ได้ทาง 120 20  40 กิโลเมตร จากนั้น B หยุดพัก 10 นาที แล้วเดินทางต่อด้วย
60

ความเร็ว 90 กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมง ใชเ้ วลา x  75 กิโลเมตร ไดท้ าง 90( x  5 ) กโิ ลเมตร
60 4

รถทงั้ สองทนั กัน แสดงวา่ ระยะทางทรี่ ถท้ังสองวิ่งเท่ากนั

นั่นคอื 80x  40  90(x  54) ฉะนั้น x  145  29  7 1
20 4 4

ดงั น้นั A เดินทาง 7 ช่ัวโมง 15 นาที

ตอบ A เดนิ ทาง 7 ชัว่ โมง 15 นาที

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 17
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2550

20. เศษส่วนจานวนหน่ึง เม่ือนา 2 มาบวกเลขโดดของตัวเศษและตัวส่วน จะทาให้เศษส่วนน้ันเป็น 7

10

และเม่ือนา 4 มาลบเลขโดดของตัวเศษและตัวส่วน จะทาให้เศษส่วนน้ันเป็น 5 จงหาว่าเศษส่วน

8
จานวนนน้ั เป็นเท่าใด

แนวคิด ให้เศษส่วนจานวนน้นั คือ x
ตอบ
y

เมอ่ื นา 2 มาบวกเลขโดดของตวั เศษและตัวส่วน ได้ x  2  7 (1)
y  2 10

เม่ือนา 4 มาลบเลขโดดของตวั เศษและตัวส่วน ได้ x 4  5 (2)
y 4 8

จาก (1) ได้ 10x  20  7y 14 นนั่ คือ 10x  7 y  6 (3)
จาก (2) ได้ 8x 32  5y  20 นั่นคอื 8x  5y 12 (4)
จาก (3) ได้ 50x  35y  30
จาก (4) ได้ 56x  35y  84 (5) x  19
นา (6)  (5) ได้ 6x 114
(6)

น่ันคือ

แทน x 19 ได้ y  12 152  28 ดงั น้ัน เศษสว่ นจานวนนั้น คอื 19
5
28

19
28

ตอนท่ี 2 : แบบอัตนัย จานวน 10 ข้อ (ขอ้ 21 – 30) ขอ้ ละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน

21. จงหาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีขนาดใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ในรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสท่ีมี

ความยาวด้าน 1 หน่วย
แนวคดิ ให้ PQR รูปสามเหลีย่ มด้านเท่าทม่ี ีขนาดใหญ่ทีส่ ุด ซึ่งมีดา้ นยาวด้านละ y หนว่ ย

ให้ CQ  RB  x หนว่ ย จะได้ QA  AR 1 x หน่วย

จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก PCQ ได้ y2 1 x2

จากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ARQ ได้ y2  (1 x)2  (1 x)2

ฉะนั้น 1 x2  (1 x)2  (1 x)2

1 x2 1 2x  x2 1 2x  x2

x2  4x 1 0

x 4 16  4
2

จาก y2 1 x2 ได้ x  2  3 ( 2  3  1)
y2 1 x2 1 (2  3)2 1 4  4 3  3  8  4 3

ฉะนนั้ y  8  4 3  2 2  3

ดงั นนั้ ความยาวด้านของรปู สามเหลย่ี มด้านเท่าทมี่ ขี นาดใหญ่ทส่ี ดุ 2 2  3 หนว่ ย

ตอบ 2 2  3

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 18

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

22. ถ้าชายคนหน่ึงยืนอยู่บนพื้นราบที่จุด A จะมองเห็นยอดเสาธงด้วยมุมเงย 15 และถ้าเขาเดินเข้าหา

เสาธง 50 เมตร เขาจะมองเห็นยอดเสาธงด้วยมุมเงย 45 จงหาความสูงของเสาธงนี้ ตอบในรูป

ทศนยิ มตาแหนง่ 2 ตาแหนง่ (กาหนด 3 1.732 )

แนวคิด จากรูป ทีจ่ ุด E ลาก DE ทาให้มมุ DEB  30 และให้ DC  x  BC
ตอบ จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก DCE ได้

sin 30 x
DE

นน่ั คอื DE  2x

จากรูปสามเหลีย่ ม AED ได้ DEA 180 30 150 นน่ั คือ ADE 15

ฉะนั้นรูปสามเหล่ียม AED เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจัว่ นั่นคือ AE  2x

จากรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก DEC ได้

tan 30  x x
EB 

นั่นคือ 1  x x ฉะนน้ั EB  3x  x  50  2x
3 EB 

นนั่ คือ x 50  3 1  50( 3 1)  25( 3 1)  25(1.732 1)  18.30
3 1 3 1 2

18.30 หน่วย

23. ถ้า d เป็น ห.ร.ม. ของ n 1 กับ n2  n 1 เม่ือ n เป็นจานวนนับ แล้วผลบวกของ d ท่ีเป็นไปได้

ท้ังหมดมคี ่าเท่าใด

แนวคดิ เนอ่ื งจาก n2  n 1  (n2  n  2)  3  (n 1)(n  2)  3

และจาก d เปน็ ห.ร.ม. ของ n 1 กบั n2  n 1

ฉะนั้น d หาร n 1 ลงตัว และ d หาร n2  n 1 ลงตวั

จะได้ d หาร (n 1)(n  2)  3 ลงตัว

แต่ d หาร (n 1)(n  2) ลงตวั ดังน้ัน d หาร 3 ลงตัว

จะได้ d คอื 1 หรือ 3

ดังนั้น ผลบวกของ d ท่เี ป็นไปได้ทัง้ หมดมีคา่ เท่ากับ 13  4

ตอบ 4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 19
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2550

24. ถ้า 19x  8  A 7  B แล้ว A  B มคี า่ เทา่ ใด
2×2  x  21 2x  x3

แนวคดิ พิจารณา 19x  8  A 7  x B 3
2×2  x  21 2x  

 A(x  3)  B(2x  7)
(2x  7)(x  3)

 (A  2B)x  (3A  7B)
2×2  x  21

โดยการเทยี บสมั ประสิทธ์ิ จะได้

A  2B  19 (1)

3A  7B  8 (2)
(3)
นา 3(1) ได้ 3A  6B  57

นา (3)  (2) ได้ 13B  65

ฉะนน้ั B  5 และ A  9

ดังนนั้ A  B  9  5  3 5  2

ตอบ 2

25. ถ้า ABCDเป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 28 หน่วย โดยมี M เป็นจุดบน AD ที่ทาให้ AM  3MD
มี I เป็นจุดบน CD ที่ทาให้มุม IBM เท่ากับมุม ABM และมี N เป็นจุดบน CD ท่ีทาให้ BN
แบง่ คร่งึ มุม IBC แล้วพื้นท่ขี องรปู สามเหลยี่ ม BMN เท่ากบั ก่ตี ารางหนว่ ย

แนวคิด หมุนรูปสามเหลี่ยม BCN รอบจดุ B ตามเขม็ นาฬิกาเป็นมมุ 90
จะได้ BNM  BNM (ด.ม.ด.)

ดังนนั้ BNM  BNM  BNC

ฉะนน้ั BSN  BCN

ให้ CN  x จะได้ ND  28  x และ MN  21 x
จากรูปสามเหล่ียมมุมฉาก DMN

จะได้ (28  x)2  72  (21 x)2

น่นั คือ x  4

ฉะนน้ั พนื้ ที่ MDN  1  7  24  84 ตารางหน่วย
2

ดงั นั้น พืน้ ที่ BMN  282  1  21 28  1  4 28 84 ตารางหนว่ ย

22

 28(28  1  21  1  4)  84
2 2

 28(28  25)  84
2

 28 31  84
2
 350 ตารางหนว่ ย

ตอบ 350 ตารางหน่วย

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หนา้ 20
การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2550

1 a b

26. ถ้า 60a  3 และ 60b  5 แลว้ 122(1b) มีค่าเท่าใด

แนวคดิ เน่ืองจาก 12  60  60  601b
ฉะนั้น 5 60b

1ab 1ab 1

122(1b)  (601b )2(1b)  (601ab )2

 ( 60 1  ( 60 ) 1  2
60a  60b 35 2
)2

ตอบ 2

27. กาหนด ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 900 หน่วย โดยท่ี O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม
และมี E, F เป็นจุดบนด้าน AD โดยท่ีจุด E อยู่ระหว่าง A กับ F ถ้า DF  400 หน่วย และ

มุม EOF  45 แลว้ AE ยาวกห่ี น่วย

แนวคิด จากรปู ให้ AE  x หนว่ ย ฉะน้ัน EF  500  x หน่วย
ตอบ กาหนดจุด P บน CD ทท่ี าให้ DP  AE
ลาก OP จะได้ AOE  DOP
ลาก FP จะได้ OEF  OFP ฉะนนั้ FP  500  x หน่วย
จากรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก FDP จะได้ (500  x)2  x2  4002

นั่นคือ x  90 หนว่ ย
90 หนว่ ย

28. ABCDEFGH เปน็ รูปแปดเหล่ียมมมุ เท่าทมี่ ดี า้ นยาว 2, 2 2, 4, 4 2, 6, 7, 7, 8 จะมีพื้นท่ีก่ี

ตารางหนว่ ย
แนวคดิ จากรปู พ้ืนที่ ABCDEFGH ตารางหน่วย

 (6  7 2 )(10  7 2 )  1 (22  42  2(7 2 )2 )
2 22 2

 (60  56 2  49 )  1 (4 16  49)
2 2

 60  56 2  49 10  49
2 2

 50  56 2

ตอบ 50  56 2 ตารางหน่วย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 21
การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2550
29. กาหนด x, y, z เป็นจานวนจรงิ บวก ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ

x2 ( y  z)2  (3×2  x 1) y2z2, y2 (z  x)2  (4y2  y 1)z2x2, z2 (x  y)2  (5z2  z 1)x2 y2

แล้ว 1  1  1 มีคา่ เท่าใด

xyz

แนวคดิ พิจารณา x2 ( y  z)2  (3×2  x 1) y2z2

(y  z)2  (3×2  x 1)
y2z2 x2

( 1  1)2  1  1  3  ( 1x  1)2  11
y z x2 x 2 4

( 1  1)2  (1  1)2  11
yz x2 4

นั่นคือ ( 1  1  1  12)( 1  1  1  12)  11 (1)
y z x y z x 4

พจิ ารณา y2(z  x)2  (4y2  y 1)z2x2 ในทานองเดียวกัน

( 1  1 )2  1  1  3  ( 1  1)2  15
z x y2 y y 2 4

(1  1 )2  ( 1  1)2  15
zx y2 4

น่นั คอื ( 1z  1  1  12)(1z  1  1  12)  15 (2)
x y x y 4

พจิ ารณา z2(x  y)2  (5z2  z 1)x2 y2 ในทานองเดียวกนั

( 1  1 )2  1  1 3  ( 1  1)2  19
x y z2 z z 2 4

( 1  1 )2  ( 1z  1 )2  19
x y 2 4

นน่ั คอื (1  1  1  1)(1  1  1  1)  19 (3)

x y z 2x y z 2 4

นา (1)+(2)+(3) ได้ ( 1  1  1  32)( 1  1  1  1 )  45
x y z x y z 2 4

ให้ k  1  1  1 ได้ (k  23)(k  12)  45
x y z 4

k 2  k  3  45
44

k 2  k 12  0

(k  4)(k  3)  0

k  3, 4

เน่อื งจาก x, y, z เป็นจานวนจรงิ บวก และ k  1  1  1 ฉะนั้น k 4
x y z

ดงั นน้ั 1  1  1  4
x y z

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ตน้ หนา้ 22

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2550

30. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC มีจุดยอด A(1, 6), B(2,3) และ C(3,  4) ถ้าเลื่อนจุด A ขนาน

ไปทางขวา 3 หน่วย ขึ้นไปข้างบน 2 หน่วย สะท้อนจุด B ข้ามแกน Y และหมุนจุด C รอบจุด

กาเนดิ ทวนเขม็ นาฬกิ าเป็นมมุ 180 แล้วรูปสามเหล่ียมท่ีเกิดจากการเลื่อนดังกล่าวจะมีพ้ืนท่ีเป็นกี่เท่า

ของรูปสามเหลยี่ ม ABC

แนวคดิ จากรูปจุด A(1,6) เล่อื นไปทางขวา 3 หน่วย เลอ่ื นไปข้างบน 2 หน่วย เป็น A(4,8)
ตอบ
จากรูปจุด B(2,3) สะท้อนข้ามแกน y เป็น B(2,3)

จากรูปจดุ C(3,4) หมนุ รอบจุดกาเนิดทวนเข็มนาฬกิ าเป็นมุม 180 เป็นC(3,4)

ฉะนั้น พน้ื ที่รปู สามเหลีย่ ม ABC  (510)  1 [(3  3)  (2 10)  (7  5)]
2

 50 32 18 ตารางหนว่ ย

ดงั นน้ั พน้ื ที่รูปสามเหลีย่ ม ABC  (7  5)  1 [(2  5)  (5 1)  (7  4)]
2

 35 21.5 13.5 ตารางหน่วย

เพราะฉะน้ัน พืน้ ทรี่ ปู สามเหลีย่ ม ABC  13.5  3 ของพน้ื ทรี่ ปู สามเหล่ียม ABC
18 4

3

4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 1

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาตอนต้น

เพอ่ื การคัดเลอื กนักเรียนระดบั เขตพื้นท่กี ารศกึ ษา

ตอนท่ี 1 : แบบอตั นยั จานวน 20 ขอ้ (ข้อ 1 – 20) ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 60 คะแนน

1. กระป๋องทรงกระบอกใบหน่ึงมีความสูงเป็น 2 เท่าของรัศมีของกระป๋อง เทน้า 92 ลูกบาศก์
เซนติเมตร ลงในกระป๋องใบนี้ แล้วหย่อนลูกแก้วซึ่งมีพื้นที่ผิว 36 ตารางเซนติเมตร ลงไปในกระป๋อง
แล้วท้าให้น้าเตม็ กระปอ๋ งพอดี ถา้ กระป๋องใบน้มี พี ้นื ทีผ่ ิวข้าง k ตารางเซนตเิ มตร แล้ว k มคี ่าเทา่ ใด

2. ดนิ น้ามันทรงกลม 3 ก้อน มีอัตราส่วนของรัศมีเป็น 3: 2:1 น้ามาปั้นรวมกันเป็นก้อนทรงกลม ถ้ารัศมี
ของทรงกลมใหม่เปน็ 3 a เทา่ ของรัศมกี อ้ นเลก็ ทีเ่ ล็กทสี่ ุด แล้ว a มีคา่ เท่าใด

3. ก้าหนดให้ a  360, b  545, c  645, d  730 จา้ นวนใดมคี า่ นอ้ ยท่สี ุด

4. ถ้า 4×3  7×2  Ax  6  Bx2  Cx  D เมื่อ A, B, C, D เป็นค่าคงตัว แล้ว B2  C2  D2 มีค่า
4x 3

เทา่ ใด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หน้า 2

การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

5. รถยนต์คนั หนึ่งวง่ิ ด้วยความเร็วสม้่าเสมอ k กิโลเมตรต่อช่ัวโมง ถ้ารถยนต์คันนี้ใช้น้ามัน n ลิตรต่อการ

วิ่งระยะทาง 100 กโิ ลเมตร แลว้ ในเวลา m นาที รถยนต์คันนี้ใชน้ ้ามันก่ีลติ ร

6. จ้านวนสองหลักจา้ นวนหน่ึง เมอ่ื สลบั หลกั กันแลว้ จะมคี ่ามากกวา่ เดิมอยู่ 20% จงหาจ้านวนน้ัน

7. มจี ้านวนเต็มบวกก่ีจา้ นวนตัง้ แต่ 1 ถึง 1990 ที่ 3 หรือ 5 หารไมล่ งตวั

8. มีลูกเต๋า 2 ลูก แต่ละลูกมีหมายเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 อยู่หน้าละหน่ึงหมายเลข เมื่อโยนลูกเต๋าทั้งสอง

ลูกพร้อมกันหนึ่งคร้ัง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของจ้านวนท่ีปรากฏบนหน้าลูกเต๋า
เปน็ จ้านวนเฉพาะ

9. 1 ทศนยิ มต้าแหน่งท่ี 7000 คือเลขโดดใด
7000

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 3
การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ
ประจาปี 2551

10. ล้าดับ x1, x2, x3, … นิยามโดย x1  4 และ xn1  3 3 เมอ่ื n 1 จงหาค่า x46
xn

11. ถา้ N เป็นจา้ นวนเต็มบวก และ N2 1991 เป็นก้าลังสองสมบรู ณ์ แล้ว N มที ง้ั หมดก่ีคา่

12. ถา้ A  22551, B  32551 แลว้ ผลบวกของหลกั หนว่ ยของ A B มีคา่ เท่าใด

13. ถา้ x  y  30 และ x3  y3  8100 แล้ว x2  y2 มีคา่ เท่าใด

14. ถ้าค้าตอบทั้งสามของสมการ x3 8×2  cx  d  0 เป็นจ้านวนเต็มท่ีแตกต่างกัน และผลบวกของ
คา้ ตอบเท่ากับ 8 เม่ือ c,d เปน็ จา้ นวนจริง แลว้ c  d มีค่าเทา่ ใด

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ระดับ ม.ต้น หนา้ 4

การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

15. ข้อมูลชุดหน่ึงเป็นดังน้ี 4, a, 5, b, 7, c, 7, 8 ถ้าข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยมเท่ากับ 8 และค่าเฉล่ียเลข

คณิตเท่ากับ 7 แล้วมธั ยฐานของขอ้ มลู ชุดนมี้ ีคา่ เท่าใด

16. ถา้ (n  1)2  (n  1)2  16 แล้ว (n2  1 )3 มคี ่าเทา่ ใด
nn n2

17. จงแปลง 11001010112 ใหเ้ ป็นจ้านวนท่ีแสดงด้วยเลขฐานสิบหก (ในระบบเลขฐานสิบหก ก้าหนดให้
A แทน 10, B แทน 11, C แทน 12, D แทน 13 , E แทน 14 และ F แทน 15 )

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร์ ระดบั ม.ต้น หน้า 5

การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจาปี 2551

18. รูปสามเหลย่ี ม ABC มมี มุ C เปน็ มมุ ฉาก จุด M, P,Q, R,S เป็นจดุ กง่ึ กลางของ

AB, BC, BM, MA, AC ตามล้าดับ ถ้า AB  32 หนว่ ย แล้วเสน้ รอบรูปของรูปส่เี หล่ียม PQRS

ยาวกหี่ นว่ ย

19. รูปสามเหล่ยี มรปู หนึ่งมีจุดยอดจุดหน่ึงคือ ( 1 , 0) ถ้าอีกสองจุดท่ีเหลือเป็นจุดตัดของกราฟของสมการ
2

y  3×2  4x 1 และ y  3 2x  x2 แลว้ พ้ืนท่ีของรปู สามเหลี่ยมรปู นี้เปน็ กต่ี ารางหนว่ ย

20. รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส A, B,C, D ตั้งอยู่บน XY ซึ่งยาว 29 หน่วย ดังรูป ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส C มี

พื้นท่ี 4 ตารางหน่วย และอัตราส่วนพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส A: B : D เป็น 4:9:16 แล้ว
ผลบวกของพน้ื ทีร่ ูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ ัส A, B, D เป็นกต่ี ารางหน่วย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

Sorry, you have Javascript Disabled! To see this page as it is meant to appear, please enable your Javascript!