[NEW] แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียวและดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง-คณิตศาสตร์ – Tuemaster เรียนออนไลน์ ม.ปลาย | กําลังสองสมบูรณ์ ภาษาอังกฤษ – NATAVIGUIDES

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว  ที่แต่ละพจน์มี

         สัมประสิทธิ์

เป็น

จำนวนเต็ม

                   ตัวอย่าง   

ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 
                 
                          3×2+ 4x + 5 , 2×2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y

 

                    พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b , c   

         เป็น

ค่าคงตัวที่  

a ≠ 0  และ  x  เป็นตัวแปร

         การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                    

 ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

                     ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax2+ bx  สามารถใช้สมบัติ

         การ

แจกแจง

แยกตัวประกอบได้

            ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 2x

            วิธีทำ            x2 + 2x       =   (x)(x) + (2)(x) 

                                                =   x(x + 2) 

           ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4×2 – 20x

           วิธีทำ           4×2 – 20x      =   (4x)(x) – (4x)(5)

                                                =   4x(x – 5)

           ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4×2 – 6x

           วิธีทำ            -4×2 – 6x      =   -2x(2x + 3)

                     หรือ     -4×2 – 6x     =    2x(-2x – 3)

          ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15×2 + 12x

          วิธีทำ            -15×2 + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

                                                  =   3x(-5x + 4)

                     หรือ     -15×2 + 12x  =   (-3x)(-5x) – (-3x)(4)
 
                                                  =   -3x(5x – 4)

        การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                   ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

                   ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป  x2  +  bx  +  c
  
         สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

         ดังตัวอย่างต่อไปนี้

                    จากการหาผลคูณ  ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ   

         x2 + 5x + 6 

         โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้

                   x2 + 5x + 6   =  x2 + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]
  
                                        =  x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

                                        =  (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)] 
 
                                        =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                        =  (x + 2)(x + 3)

                               นั่นคือ     x2 + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

                   พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

                   1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3) 
 
                                               =  (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]  

                                               =  x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)

                                               =  x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
 
                                                =  x2 + 5x + 6

                        ดังนั้น  แยกตัวประกอบของ  x2 + 5x + 6  ได้ดังนี้   

x2 + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3)

 

                       ให้สังเกตว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2+ 5x + 6  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม

         สองจำนวน

ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x 

         คือ 

 5

               (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5) 
 
                                      =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] 
 
                                      =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5) 
 
                                      =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5) 
 
                                      =   x2 + (-1)x + (-20)  

                                      =   x2  –  x  – 20 
  
                      ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x2 – x – 20   ได้ดังนี้  x2 – x – 20   = (x + 4)(x – 5)

                      จากการหาผลคูณ    x + 4)(x -5)  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ  

               x2– x – 20  

               โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

                    x2– x – 20    =   x2 + (-1)x + (-20)

                                      =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)           

                                                          

 [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]
                  
                                      =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

                                      =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

                                      =   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

                                      =   (x + 4)[x + (-5)]

                                      =   (x + 4)(x -5)

                             

2 – x – 20   =   (x + 4)(x – 5)

นั่นคือ x– x – 20 = (x + 4)(x – 5)

                            

ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ  x2– x – 20  ได้ ถ้าเราสามารถ 

            หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  -20  และบวกกันได้เท่ากับ

           สัมประสิทธิ์ของ 

x  คือ  -1

                            จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้  ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง  เช่น   

            x2+ 6x + 8  
                            เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  8  และบวกกันได้  6  ก่อน  ดังนี้
            
            เนื่องจาก     x2 + 6x + 8  =  x2 + (2 + 4)x + (2)(4)

                                                 =  x2 + (2x + 4x) + (2)(4) 

                                                 =  (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]

                                                 =  (x + 2)x + (x + 2)(4)

                                                 =  (x + 2)(x + 4) 

                                   นั่นคือ     x2 + 6x + 8     =    (x + 2)(x + 4) 
            
              ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x2 + bx + c  เมื่อ  b , c  

        เป็นจำนวนเต็ม 

และ  c ≠ 0  ได้  ถ้าเราสามารถหา  จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่ 

        เป็นค่าคงตัวคือ  

c  และบวกกันได้

 เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

                ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b  

                จะได้ว่า     x2 + bx + c    =    (x + m)(x + n)

              ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 10x + 21

              วิธีทำ              เนื่องจาก (-3)(-7)   =   21
               
                        และ              (-3) + (-7)   =   -10

                         ดังนั้น     x2 – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)] 

                        นั่นคือ     x2 – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )          
              
              ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 5x – 6

              วิธีทำ              เนื่องจาก  (-1)(6)   =   – 6 
 
                           และ            (-1) + (6)   =    5

 

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง

ผลต่างกำลังสอง

     

ดังนี้

                                

a

2  –  b2  =  (a + b)(a – b)

                ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้ง สองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์

     หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ 

     ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมี

จำนวนจินต

 

                                                             

a  +  b  =  (a + bi)(a – bi)

                                            

                 ตัวอย่างเช่น 42 + 49 สามารถแยกได้เป็น (2x + 7i)(2x − 7i) เป็นต้น

              

                 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลัง

สอง

พิจารณา

การคูณพหุนามสองพหุนามต่อไปนี้

                     1.     (x + 3)(x – 3)     =     x2 – 3x + 3x – 9 

                                                     =     x2 – 9  
      
                                                     =     x2 – 32        

                     2.    (x + 7)(x – 7)      =     x2 – 7x + 7x – 49

                                                     =     x2 – 49 
       
                                                     =     x2 – 72

                  3.     (3x + 5)(3x – 5)    =     9×2 – 15x + 15x – 25                        

                                                     =     9×2 – 25 
        
                                                     =     (3x)2 – 52                         

                  พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามสองต่อไปนี้

                           1.   x2 – 25           =      x2 – 52 

                                                     =     (x + 5)(x – 5) 
   
                            2.   36×2 – 49      =      (6x)2 – 72

                                                     =     (6x + 7)(6x – 7)  

                   จากตัวอย่างการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งสองข้างต้น   จะเห็นว่าการ

      แยกตัวประกอบของพหุนาม

                    ดีกรีสองในแต่ละข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่มีพจน์เหมือน

      กัน  แต่มีเครื่องหมายระหว่าง

                     พจน์ต่างกัน  เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า  พหุนามดีกรีสองที่

      เป็นผลต่างของกำลังสอง  

                      พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง  ดังตัวอย่างข้างต้น  มีลักษณะ

      พิเศษที่สังเกตได้ดังนี้  

                            1.    x2 – 25     =      x2 – 52

                                                 =     (x + 5)(x – 5)
     
                       ถ้าให้  x  เป็นพจน์หน้าและ  5  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                    (พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2   =  (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง) 

                  พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง  ดังตัวอย่างข้างต้น  มีลักษณะ

      พิเศษที่สังเกตได้ดังนี้

                            2.   36×2 – 49      =     (6x)2– 72 

                                                      =     (6x + 7)(6x – 7)  
   
                   ถ้าให้  6x  เป็นพจน์หน้าและ  7  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                   (พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2  =   (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง)

                   ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน  พจน์หลัง  จะแยกตัว

     ประกอบของพหุนามดีกรีสอง

           ที่เป็นผลต่างของกำลังสองได้ตามสูตร  ดังนี้

                            A2 – B2      =     (A + B)(A – B)
   
                   เราสามารถใช้สูตรนี้ ในกรณีที่ A และ B เป็นพหุนามในการแยกตัวประกอบ

      ได้

ด้วย

              ตัวอย่างที่ 1     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 121

              วิธีทำ               x2 – 121   =    x2 – 112

                         ดังนั้น    x2 – 121   =    (x + 11)(x – 11)  
     
              ตัวอย่างที่ 2     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 121

              วิธีทำ               x2 – 121   =    x2 – 112 
 
                        ดังนั้น     x2 – 121   =    (x + 11)(x – 11) 
      
              ตัวอย่างที่ 3     จงแยกตัวประกอบของ  49×2 – 196

              วิธีทำ               49×2 – 196    =    (7x)2 – 142 
 
                                                        =    (7x + 14)(7x – 14) 
      
                                                        =    7(x + 2)(7)(x – 2)  
     
                           ดังนั้น    49×2 – 196  =    49(x + 2)(x – 2)   

 

การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนาม เป็นการแยกตัวประกอบของสมการเพื่อให้ง่ายต่อการหาคำตอบของสมการที่จะต้องเรียนในเนื้อหาถัดไป ในบทความนี้จะพูดถึงพหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว

พหุนามดีกรี 2 คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุด คือ 2

พหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2 และ มีตัวแปร 1 ตัว เขียนอยู่ในรูป ax² + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0

ค่าคงที่ คือ ค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลง พูดง่ายๆก็คือ เป็นตัวเลขตัวหนึ่ง

สาเหตุที่ a ≠ 0 เพราะ ถ้าเราสมมติให้ a เป็น 0 เราจะได้ว่า 0x² + bx + c = bx + c จะเห็นว่า เมื่อ a = 0 แล้ว ดีกรีสูงสุดก็คือ 1 มันจะกลายเป็น พหุนามดีกรี 1 ดังนั้น a เลยเป็น 0 ไม่ได้นั่นเองค่ะ

แต่ b และ c เป็น 0 ได้ เพราะ ดีกรียังคงเป็น 2 ก็ยังคงเป็นพหุนามดีกรี 2 อยู่

 

ตัวอย่าง พหุนามดีกรี 2

x² + 2x + 1 จะได้ว่า a = 1, b = 2, c = 1 และเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2

2x² + 3x + 5 จะได้ว่า a = 2, b = 3, c = เลขยกกำลังสูงสุดคือ 2

 

เราลองสังเกต (x+2)(x+5) เราลองกระจายดู จะได้ว่า

ทำย้อนกลับ x² + 7x + 10 เราต้องคิดก่อนว่า ตัวเลข 2 ตัวใดที่คูณกันแล้วได้ 10 บวกกันแล้วได้ 7

10 = 1 × 10 = 2 × 5 เลขที่ คูณกันได้ 10 มี 2 กรณี คือ 1 กับ 10 และ 2 กับ 5

จากนั้นเรานำ เลขทั้ง 2 กรณี มาพิจารณาว่า กรณีไหนที่บวกกันแล้ว ได้เท่ากับ 7

1 + 10 = 11

2 + 5 = 7

ดังนั้น 2 กับ 5 คือตัวที่ บวกกันแล้วได้ 7 คูณกันแล้วได้ 10

ดังนั้น x² + 7x + 10 = (x+2)(x+5)

พหุนามในรูปกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบในรูปกำลังสองสมบูรณ์

น แทน หน้า

ล แทน หลัง

(น + ล)² = น² + 2นล + ล²

(น – ล)² = น² – 2นล + ล²

ตัวอย่าง

1.) (x + 3)² = x² + 2(3)x + 3² = x² + 6x + 9

2.) (2x – 5) = (2x)² – 2(2)(5)x + 5² = 4x² – 20x +25

การแยกตัวประกอบในรูปผลต่างกำลังสอง

น² – ล² = (น – ล)(น + ล)

ตัวอย่าง

x² – 2² = (x – 2)(x + 2)

x² – 16 = (x – 4)(x + 4)

 

ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบพหุนาม กรณี a = 1

กรณี a = 1 พหุนามจะอยู่ในรูป x² + bx + c โดยที่ b, c เป็นค่าคงที่ใดๆ เราจะหาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันแล้วเท่ากับ c และ บวกกันแล้วเท่ากับ b

1.) x² + 5x + 4

วิธีทำ จากโจทย์ได้ว่า a = 1, b = 5 และ c = 4

พิจารณาว่า จำนวน 2 จำนวนใด ที่คูณกันแล้วได้ 4

4 = 1 × 4 = 2 × 2

จากนั้นพิจารณาว่า กรณีไหนที่ บวกกันแล้วได้ 5

จะได้ว่า 1 + 4 = 5

ดังนั้น x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)

น้องๆสามารถตรวจคำตอบได้ โดยการคูณกระจาย ถ้ากระจายเสร็จแล้วได้ตรงกับโจทย์แสดงว่าแยกตัวประกอบถูกแล้วนั่นเอง

2.) x² – 2x +1

วิธีทำ จากโจทย์ ได้ว่า  a = 1, b = -2 และ c = 1

พิจารณาว่า จำนวนใดคูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 และบวกกันได้เท่ากับ -2

1 = 1 × 1 = (-1) × (-1)

จากนั้น พิจารณาว่า กรณีใดที่บวกกันแล้วได้ -2

จะได้ว่า (-1) + (-1) = -2

ดังนั้น x² – 2x +1 = (x – 1)(x – 1)

 

3.) x² – 2x -35

วิธีทำ จากโจทย์ จะได้ว่า a = 1, b = -2 และ c = -35

พิจารณา จำนวนที่ คูณกันแล้วได้ -35 การที่คูณแล้วจะได้ -35 นั้น ตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนบวก และอีกตัวต้องเป็นจำนวนลบ

-35 = (-1) × 35 = 1 × (-35) = (-5) × 7 = 5 × (-7)  ได้ 4 กรณี

จากนั้นพิจารณากรณีทั้ง 4 ว่ากรณีไหนบวกกันแล้วได้เท่ากับ -2

จะได้ว่า (-7) + 5 = -2

ดังนั้น  x² – 2x -35 = (x – 7)(x + 2)

ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบพหุนาม กรณี a ≠ 1

 

1.) 2x² + 5x + 2

วิธีทำ จากโจทย์จะได้ a = 2, b = 5, c = 2

2.) -x² – 4x +5

วิธีทำ a = -1, b = -4, c = 5

3.) 6x² + 7x + 2

วิธีทำ  a = 6, b = 7, c = 2

 

 วีดิโอการแยกตัวประกอบพุหนาม

 

 

 

 

 

 

 

+8