[NEW] ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ม.4 | quantifiers คือ – NATAVIGUIDES

ถ้าเราใส่ ตัวบ่งปริมาณแบบ \(\exists\) (อ่านว่า exists หรือ บางคนก็เรียกว่า for some) ไว้ข้างหน้าประโยคเปิด \(x\) เป็นจริงอย่างน้อย 1 ตัว จะทำให้ประโยคเป็นจริงเลย (จริง ๆ มันก็ตรงตัว ก็ มี \(x\) บางตัวไง ดังนั้น ถ้ามีตัวนึงที่เราแทนแล้วมันเป็นจริง ก็ถือว่าประโยค \(\exists\) เป็นจริง)

ถ้าเราใส่ ตัวบ่งปริมาณแบบ \(\forall\) (อ่านว่า for all) ไว้ข้างหน้าประโยคเปิด \(x\) ต้อง เป็นจริงทุกค่า ถึงจะทำให้ประโยคเป็นจริง

ประโยคเปิดสองตัวแปร (หลักสูตรเก่า)

เนื่องจากเป็นเรื่องเดียวกัน แต่หลักสูตร 2560 ที่ปรับปรุงโดย สสวท. ได้ทำการตัดส่วนนี้ออกไป
ส่วนตัวพี่คิดว่า เค้าคงคิดว่ามันมีความซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้น
ไม่ว่าจะโดนตัดหรือไม่โดนตัด พี่ก็จะสอนอยู่ดี 55555+ เพราะพี่ว่ามันไม่ได้ยาก
และถ้าอนาคตข้อสอบออก น้องจะได้ไม่งงกัน รูปแบบหน้าตามันจะเป็นประมาณนี้

เห็นก็น่ากลัวแล้วเนอะ แต่จริง ๆ ไอเดียไม่ได้ยากครับน้อง ๆ มันคือประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร
เช่น \(x+y\gt 0\) ก็มีตัวแปร \(x\) กับ \(y\) เวลาเรามีเอกภพสัมพัทธ์ \(\mathbb{U}\)
เราก็เลือกตัวเลขมาแทนในตัวแปร ทั้ง \(x\) และ \(y\) (ไม่ต้องเป็นเลขเดียวกันก็ได้นะ)

\(\forall x\forall y\;\) ทุกคู่ \(x,y\) เป็นจริง

ตัวอย่าง \(\forall x\forall y[x+y\ge 1]\) โดยที่ \(\mathbb{U}=\{0, 1\}\)
เราต้องทำทุกกรณี กล่าวง่าย ๆ คือ \(x\) เป็นได้ทั้งหมดใน \(\mathbb{U}\) และ \(y\)
ก็เช่นกัน ดังนั้นต้องจับคู่ทั้งหมด

\(x=0, y=0\) เป็นเท็จ เพราะ \(0+0\ge 1\) ไม่จริง
\(x=0, y=1\) เป็นจริง เพราะ \(0+1\ge 1\) จริง
\(x=1, y=0\) เป็นจริง เพราะ \(1+0\ge 1\) จริง
\(x=1, y=1\) เป็นจริง เพราะ \(1+1\ge 1\) จริง

ดังนั้น \(\forall x\forall y[x+y\ge 1]\equiv F\) เพราะว่า ไม่ใช่ทุกคู่เป็นจริง
กรณี \(x=0, y=0\) ไม่จริง

\(\exists x\exists y\;\) มี \(x,y\) คู่เดียวพอเป็นจริง

ที่เอา \(\exists\exists\) มาก่อน เพราะ \(\exists\exists\) เป็นอีกตัวที่เข้าใจง่าย
คือเราต้องการ x บางตัว y บางตัว มันก็แปลว่า มี \(x, y\) คู่เดียวเป็นจริงก็พอ ตัวอย่าง
จงหาค่าความจริงของ \(\exists x\exists y[x+y\gt 2]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\)

เราต้องการหา \(x, y\) คู่เดียวที่บวกกันเกิน 2 แต่ตัวมากสุดในเอกภพสัมพัทธ์คือ \(1\) หากเราอยากได้ผลบวกมาก ๆ
เราก็ต้องพยายามให้ ทั้ง \(x\) และ \(y\) มากสุดเท่าที่เป็นไปได้ เราเลยกำหนด \(x=1, y=1\)
แต่ปรากฎว่า ยังไม่สามารถทำให้ผลบวกเกิน \(2\) ได้ เพราะ \(1+1=2\not\gt2\)

แปลว่าไม่มี \(x, y\) สักคู่เลยที่ทำให้อสมการเป็นจริง ดังนั้น \(\exists x\exists y[x+y\gt 2]\equiv F\)

คำแนะนำ

สองข้อถัดไป พี่อยากให้น้องมองว่า ลำดับสำคัญ ก็คือ
เราจะเลือก \(x\) ก่อนแล้วจึงเลือก \(y\) จะมองภาพง่ายขึ้น

\(\forall x\exists y\;\) ทุก \(x\) ต้องมี \(y\) อย่างน้อย 1 ตัวเป็นจริง

ตรงตัวครับน้อง ๆ \(\forall x\exists y\) อ่านว่า for all x for some y
ก็คือ ทุก x บาง y แปลว่า เราต้องแทน \(x\) เป็นทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และแต่ละค่า \(x\)
ที่แทน จะต้องมีค่า \(y\) อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง

สมมติ เราจะหาค่าความจริงของ \(\forall x\exists y[x\lt y]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\)
แปลว่า ทุก \(x\) นะ ก็คือ ทุกเลข \(-1, 0, 1\) เนี่ย มันจะต้องมี \(y\) ตัวนึงที่มากกว่ามัน จากโจทย์ที่ว่า \(x\lt y\)
แต่หากน้องสังเกต ถ้าเราให้ \(x=1\) เราไม่มีทางหา \(y\) ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ มีค่ามากกว่า \(x\) ได้แล้ว
เพราะ \(1\) มันมากสุดใน \(\mathbb{U}\) แล้วยังไงหล่ะ ดังนั้น \(\forall x\exists y[x\lt y]\equiv F\)
เพราะว่า ไม่ใช่ทุก \(x\) ที่หา \(y\) ที่เป็นจริงได้เจอ

เสริม : ถ้าเราเลือก \(x=0\) เราสามารถเลือก \(y=1\) ได้ โดยประโยคจะเป็นจริงและ ดังนั้น \(x=0\) ถือว่าผ่าน
เราก็ต้องไปทำ \(x\) ตัวอื่นต่อ อย่าลืมว่าข้อนี้คือ \(\forall x\) ดังนั้น ต้องหา \(y\) ให้เจอสำหรับ ทุก \(x\)

\(\exists x\forall y\;\) มีบาง \(x\) ที่มี \(y\) ทุกตัวเป็นจริง

อันนี้จะกลับด้าน แต่ก็ตามชื่อที่ว่า for some x for all y ก็คือ บาง x ทุก y
มันจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ น้องเจอ \(x\) แค่ตัวเดียวนะ ที่มันไม่ว่าจะจับคู่กับ \(y\) ตัวไหนก็เป็นจริงเสมอ
ตัวอย่าง สมมติว่าเรามี \(\exists x\forall y[x\le y]\) เมื่อ \(\mathbb{U}=\{-1,0,1\}\)
ถ้ามองภาษาคน ก็คือ มีไหมนะสักตัว \(x\) ที่ไม่ว่าจะจับใครมาคู่ \(y\) มันก็มากกว่าหรือเท่ากับเสมอ

มีครับ ถ้าเราให้ \(x\) เป็นตัวน้อยสุดใน \(\mathbb{U}\) ไงจริงมั้ยน้อง ๆ ถ้าเราทำแบบนี้ ไม่ว่า
\(y\) จะเป็นตัวไหน เราก็สามารถทำให้ \(x\le y\) ได้เสมอ ดังนั้น \(\exists x\forall y[x\le y]\equiv T\)

much (มัช) many (เมนิ) a lot of (เออะ ล็อท ออฟ) และ lots of (ล็อทสฺ ออฟ)ทั้งหมดนี้มีความหมายว่า “มากหรือมีเป็นปริมาณมาก” (a large quantity) แต่มีวิธีการใช้ดังนี้
1. much ใช้กับคำนามที่นับไม่ได้ (uncountable noun) เท่านั้น โดย สามารถใช้ได้ทั้งในประโยคบอกเล่า ประโยคคำถาม และประโยคปฏิเสธ
2. many ใช้กับคำนามนับได้ที่เป็นพหูพจน์ (plural countable noun) เท่านั้น โดยสามารถใช้ได้ทั้งประโยคบอกเล่า ประโยคคำถาม และประโยคปฏิเสธ
3. a lot of และ lots of ใช้ได้ทั้งกับคำนามนับได้และนับไม่ได้ กล่าวคือ หากใช้กับคำนามนับได้ คำนามนั้นจะต้องเป็นพหูพจน์เท่านั้น แต่หากใช้กับคำนามนับไม่ได้ ก็มีเพียงเอกพจน์เท่านั้น
ตัวอย่าง
A.    How much cheese is there is the fridge?
B.    There isn’t much cheese.
A.    How many tomatoes are there?
B.    There aren’t many tomatoes.
A.    Is there a lot of milk?
B.    Yes, there is.
A.    Are there lots of eggs?
B.    Yes, there are.
ก. มีเนยแข็งในตู้เย็นอยู่เท่าไร
ข. มีเนยแข็งไม่มาก
ก. มีมะเขือเทศอยู่เท่าไร
ข. มีมะเขือเทศไม่มาก
ก. มีนมมากไหม
ข. มีมาก
ก. มีไข่มากไหม
ข. มีมาก
*cheese เป็นคำนามนับไม่ได้ ส่วน * tomatoes เป็นคำนามนับได้พหูพจน์
*milk เป็นคำนามนับไม่ได้ ส่วน *eggs เป็นคำนามนับได้พหูพจน์
a little (เออะ ลิทเทิล) little (ลิทเทิล) a few (เออะ ฟิว) few (ฟิว) และ enough (อินัฟ) มีความหมายและวิธีการใช้ดังนี้
1. a little และ little ใช้ได้กับคำนามนับไม่ได้ (uncountable noun) เท่านั้น ทั้งนี้ a little ให้ความหมายในเชิงบวก (positive) คือ “มีบ้างเล็กน้อย” แต่ little ให้ความหมายในเชิงลบ (negative) คือ “แทบไม่มีเลย”
2. a few และ few ใช้ได้เฉพาะกับคำนามนับได้พหูพจน์ (plural countable noun) เท่านั้น ทั้งนี้ a few ให้ความหมายในเชิงบวก คือ “มีบ้างเล็กน้อย” แต่ few ให้ความหมายเชิงลบ คือ’ “แหบไม่มีเลย”
ส่วน enough (อินัฟ) แปลว่า “เพียงพอ” ใช้ได้ทั้งกับคำนามนับได้และนับไม่ได้ ทั้งนี้ในส่วนของคำนามนับได้ต้องเป็นพหูพจน์เท่านั้น
ตัวอย่าง
Sheila has made a little progress and so is feeling quite pleased.
ชีล่ามีความก้าวหน้าขึ้นบ้างเล็กน้อย เธอจึงรู้ล็กค่อนข้างพอใจ
(a little progress = some progress)
Sheila had made little progress and so is not feeling very pleased.
ชีล่าแทบไม่ก้าวหน้าเลย เธอจึงรู้สึกไม่ค่อยพอใจ
(little progress = not much progress)
A few customers have come into the shop. It has been fairly busy.
มีลูกค้าเข้ามาในร้าน ทางร้านจึงค่อนข้างยุ่ง
(a few customers = some customers)
Few customers have come into the shop. It has been quiet.
แทบไม่มีลูกค้าเข้ามาในร้านเลย ร้านจึงเงียบเหงา
(few customers = not many customers)
We’ve got enough eggs. We don’t need them any more.
เรามีไข่เพียงพอแล้ว จึงไม่ต้องการมันอีก
We haven’t got enough cheese. We need it.
เรามีเนยแข็งไม่เพียงพอ เราจึงต้องการมันอีก
*progress และ cheese เป็นคำนามนับไม่ได้
*customers และ eggs เป็นนามนับได้พหูพจน์
นอกจากการใช้ดังระบุมาข้าต้น เรายังสามารถใช้คำว่า much, many, a lot, a few และ enough โดยไม่ระบุถึงคำนามนั้นๆ อีกครั้งซํ้าใหม่ได้ด้วย ทั้งนี้มีข้อแม้ว่าต้องได้มีการเอ่ยถึงคำนามนั้นมาแล้วก่อนหน้า
ตัวอย่าง
There’s some snow, but not much.
(= There’s some snow, but not much snow.)
มีหิมะบ้าง แต่ไม่มาก
We’ve got some envelopes, but not a lot.
(= We’ve got some envelopes, but not a lot of envelopes.)
เรามีซองจดหมายอยู่บ้าง แต่มีไม่มาก
We don’t need any more eggs. We’ve got enough.
(= We don’t need any more eggs. We’ve got enough eggs.)
เราไม่ต้องการไข่อีก เรามีเพียงพอแล้ว

ที่มา:รองศาสตราจารย์ทณุ  เตียวรัตนกุล

(Visited 135,392 times, 23 visits today)