กําลังสองสมบูรณ์ ภาษาอังกฤษ: นี่คือโพสต์ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้
Table of Contents
การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มี
สัมประสิทธิ์
เป็น
จำนวนเต็ม
ตัวอย่าง
ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
3×2+ 4x + 5 , 2×2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c
เป็น
ค่าคงตัวที่
a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0
ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติ
การ
แจกแจง
แยกตัวประกอบได้
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x
วิธีทำ x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)
= x(x + 2)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4×2 – 20x
วิธีทำ 4×2 – 20x = (4x)(x) – (4x)(5)
= 4x(x – 5)
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4×2 – 6x
วิธีทำ -4×2 – 6x = -2x(2x + 3)
หรือ -4×2 – 6x = 2x(-2x – 3)
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ -15×2 + 12x
วิธีทำ -15×2 + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)
= 3x(-5x + 4)
หรือ -15×2 + 12x = (-3x)(-5x) – (-3x)(4)
= -3x(5x – 4)
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0
ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x2 + bx + c
สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากการหาผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ
x2 + 5x + 6
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]
= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)
= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]
= (x + 2)x + (x + 2)(3)
= (x + 2)(x + 3)
นั่นคือ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้
1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]
= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
= x2 + 5x + 6
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6 ได้ดังนี้
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
ให้สังเกตว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2+ 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
สองจำนวน
ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x
คือ
5
(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
= x2 + (-1)x + (-20)
= x2 – x – 20
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 – x – 20 ได้ดังนี้ x2 – x – 20 = (x + 4)(x – 5)
จากการหาผลคูณ x + 4)(x -5) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ
x2– x – 20
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้
x2– x – 20 = x2 + (-1)x + (-20)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
[4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)
= (x + 4)[x + (-5)]
= (x + 4)(x -5)
2 – x – 20 = (x + 4)(x – 5)
นั่นคือ x– x – 20 = (x + 4)(x – 5)
ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2– x – 20 ได้ ถ้าเราสามารถ
หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ -20 และบวกกันได้เท่ากับ
สัมประสิทธิ์ของ
x คือ -1
จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้ ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เช่น
x2+ 6x + 8
เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และบวกกันได้ 6 ก่อน ดังนี้
เนื่องจาก x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + (2)(4)
= x2 + (2x + 4x) + (2)(4)
= (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]
= (x + 2)x + (x + 2)(4)
= (x + 2)(x + 4)
นั่นคือ x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x2 + bx + c เมื่อ b , c
เป็นจำนวนเต็ม
และ c ≠ 0 ได้ ถ้าเราสามารถหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่
เป็นค่าคงตัวคือ
c และบวกกันได้
เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b
ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x + 21
วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21
และ (-3) + (-7) = -10
ดังนั้น x2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]
นั่นคือ x2 – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x – 6
วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = – 6
และ (-1) + (6) = 5
การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง
ผลต่างกำลังสอง
ดังนี้
-
-
a
2 – b2 = (a + b)(a – b)
-
ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้ง สองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์
หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์
ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมี
จำนวนจินต
a + b = (a + bi)(a – bi)
ตัวอย่างเช่น 42 + 49 สามารถแยกได้เป็น (2x + 7i)(2x − 7i) เป็นต้น
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลัง
สอง
พิจารณา
การคูณพหุนามสองพหุนามต่อไปนี้
1. (x + 3)(x – 3) = x2 – 3x + 3x – 9
= x2 – 9
= x2 – 32
2. (x + 7)(x – 7) = x2 – 7x + 7x – 49
= x2 – 49
= x2 – 72
3. (3x + 5)(3x – 5) = 9×2 – 15x + 15x – 25
= 9×2 – 25
= (3x)2 – 52
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามสองต่อไปนี้
1. x2 – 25 = x2 – 52
= (x + 5)(x – 5)
2. 36×2 – 49 = (6x)2 – 72
= (6x + 7)(6x – 7)
จากตัวอย่างการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งสองข้างต้น จะเห็นว่าการ
แยกตัวประกอบของพหุนาม
ดีกรีสองในแต่ละข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่มีพจน์เหมือน
กัน แต่มีเครื่องหมายระหว่าง
พจน์ต่างกัน เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่
เป็นผลต่างของกำลังสอง
พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง ดังตัวอย่างข้างต้น มีลักษณะ
พิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
1. x2 – 25 = x2 – 52
= (x + 5)(x – 5)
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้าและ 5 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง)
พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง ดังตัวอย่างข้างต้น มีลักษณะ
พิเศษที่สังเกตได้ดังนี้
2. 36×2 – 49 = (6x)2– 72
= (6x + 7)(6x – 7)
ถ้าให้ 6x เป็นพจน์หน้าและ 7 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง)
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน พจน์หลัง จะแยกตัว
ประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ที่เป็นผลต่างของกำลังสองได้ตามสูตร ดังนี้
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
เราสามารถใช้สูตรนี้ ในกรณีที่ A และ B เป็นพหุนามในการแยกตัวประกอบ
ได้
ด้วย
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121
วิธีทำ x2 – 121 = x2 – 112
ดังนั้น x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121
วิธีทำ x2 – 121 = x2 – 112
ดังนั้น x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 49×2 – 196
วิธีทำ 49×2 – 196 = (7x)2 – 142
= (7x + 14)(7x – 14)
= 7(x + 2)(7)(x – 2)
ดังนั้น 49×2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2)
[NEW] การแยกตัวประกอบพหุนาม ตัวอย่างการแยกตัวประกอบ | กําลังสองสมบูรณ์ ภาษาอังกฤษ – NATAVIGUIDES
การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม เป็นการแยกตัวประกอบของสมการเพื่อให้ง่ายต่อการหาคำตอบของสมการที่จะต้องเรียนในเนื้อหาถัดไป ในบทความนี้จะพูดถึงพหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว
พหุนามดีกรี 2 คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุด คือ 2
พหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2 และ มีตัวแปร 1 ตัว เขียนอยู่ในรูป ax² + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0
ค่าคงที่ คือ ค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลง พูดง่ายๆก็คือ เป็นตัวเลขตัวหนึ่ง
สาเหตุที่ a ≠ 0 เพราะ ถ้าเราสมมติให้ a เป็น 0 เราจะได้ว่า 0x² + bx + c = bx + c จะเห็นว่า เมื่อ a = 0 แล้ว ดีกรีสูงสุดก็คือ 1 มันจะกลายเป็น พหุนามดีกรี 1 ดังนั้น a เลยเป็น 0 ไม่ได้นั่นเองค่ะ
แต่ b และ c เป็น 0 ได้ เพราะ ดีกรียังคงเป็น 2 ก็ยังคงเป็นพหุนามดีกรี 2 อยู่
ตัวอย่าง พหุนามดีกรี 2
x² + 2x + 1 จะได้ว่า a = 1, b = 2, c = 1 และเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2
2x² + 3x + 5 จะได้ว่า a = 2, b = 3, c = เลขยกกำลังสูงสุดคือ 2
เราลองสังเกต (x+2)(x+5) เราลองกระจายดู จะได้ว่า
ทำย้อนกลับ x² + 7x + 10 เราต้องคิดก่อนว่า ตัวเลข 2 ตัวใดที่คูณกันแล้วได้ 10 บวกกันแล้วได้ 7
10 = 1 × 10 = 2 × 5 เลขที่ คูณกันได้ 10 มี 2 กรณี คือ 1 กับ 10 และ 2 กับ 5
จากนั้นเรานำ เลขทั้ง 2 กรณี มาพิจารณาว่า กรณีไหนที่บวกกันแล้ว ได้เท่ากับ 7
1 + 10 = 11
2 + 5 = 7
ดังนั้น 2 กับ 5 คือตัวที่ บวกกันแล้วได้ 7 คูณกันแล้วได้ 10
ดังนั้น x² + 7x + 10 = (x+2)(x+5)
พหุนามในรูปกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง
การแยกตัวประกอบในรูปกำลังสองสมบูรณ์
น แทน หน้า
ล แทน หลัง
(น + ล)² = น² + 2นล + ล²
(น – ล)² = น² – 2นล + ล²
ตัวอย่าง
1.) (x + 3)² = x² + 2(3)x + 3² = x² + 6x + 9
2.) (2x – 5) = (2x)² – 2(2)(5)x + 5² = 4x² – 20x +25
การแยกตัวประกอบในรูปผลต่างกำลังสอง
น² – ล² = (น – ล)(น + ล)
ตัวอย่าง
x² – 2² = (x – 2)(x + 2)
x² – 16 = (x – 4)(x + 4)
ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบพหุนาม กรณี a = 1
กรณี a = 1 พหุนามจะอยู่ในรูป x² + bx + c โดยที่ b, c เป็นค่าคงที่ใดๆ เราจะหาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันแล้วเท่ากับ c และ บวกกันแล้วเท่ากับ b
1.) x² + 5x + 4
วิธีทำ จากโจทย์ได้ว่า a = 1, b = 5 และ c = 4
พิจารณาว่า จำนวน 2 จำนวนใด ที่คูณกันแล้วได้ 4
4 = 1 × 4 = 2 × 2
จากนั้นพิจารณาว่า กรณีไหนที่ บวกกันแล้วได้ 5
จะได้ว่า 1 + 4 = 5
ดังนั้น x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
น้องๆสามารถตรวจคำตอบได้ โดยการคูณกระจาย ถ้ากระจายเสร็จแล้วได้ตรงกับโจทย์แสดงว่าแยกตัวประกอบถูกแล้วนั่นเอง
2.) x² – 2x +1
วิธีทำ จากโจทย์ ได้ว่า a = 1, b = -2 และ c = 1
พิจารณาว่า จำนวนใดคูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 และบวกกันได้เท่ากับ -2
1 = 1 × 1 = (-1) × (-1)
จากนั้น พิจารณาว่า กรณีใดที่บวกกันแล้วได้ -2
จะได้ว่า (-1) + (-1) = -2
ดังนั้น x² – 2x +1 = (x – 1)(x – 1)
3.) x² – 2x -35
วิธีทำ จากโจทย์ จะได้ว่า a = 1, b = -2 และ c = -35
พิจารณา จำนวนที่ คูณกันแล้วได้ -35 การที่คูณแล้วจะได้ -35 นั้น ตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนบวก และอีกตัวต้องเป็นจำนวนลบ
-35 = (-1) × 35 = 1 × (-35) = (-5) × 7 = 5 × (-7) ได้ 4 กรณี
จากนั้นพิจารณากรณีทั้ง 4 ว่ากรณีไหนบวกกันแล้วได้เท่ากับ -2
จะได้ว่า (-7) + 5 = -2
ดังนั้น x² – 2x -35 = (x – 7)(x + 2)
ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบพหุนาม กรณี a ≠ 1
1.) 2x² + 5x + 2
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ a = 2, b = 5, c = 2
2.) -x² – 4x +5
วิธีทำ a = -1, b = -4, c = 5
3.) 6x² + 7x + 2
วิธีทำ a = 6, b = 7, c = 2
วีดิโอการแยกตัวประกอบพุหนาม
+8
ทบทวน กำลังสองสมบูรณ์
นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูเพิ่มเติม
แยกตัวประกอบ พหุนามกำลังสองสมบูรณ์ พี่โต๋ Dektalent.com
การแยกตัวประกอบของพหุนามแบบกำลังสองสมบูรณ์ เป็นหนึ่งในแปดวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามค่ะ เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในระดับ ม.ปลาย Download ชีทได้ฟรีที่ http://www.dektalent.com/vdo/320factorization/
การแยกตัวประกอบของพหุนามแบบกำลังสองสมบูรณ์ มีอยู่สองรูปแบบด้วยกันคือ
น^2 + 2นล + ล^2 = (น+ล) (น+ล) = (น+ล)^2
น^2 2นล + ล^2 = (นล) (นล) = (นล)^2
เป็นอีกรูปแบบนึงที่เจอบ่อยมากในการแก้สมการระดับสูงขึ้นไปค่ะ กำลังสองสมบูรณ์บางครั้งจะโผล่มาให้แยกตัวประกอบได้ง่ายๆ แต่บางครั้งก็ปลอมตัวทำให้เรางงและแยกตัวประกอบได้ยากเหมือนกันค่ะ ในคลิปวีดีโอนี้จะสอนอย่างละเอียดถึงเทคนิคและทริคต่างๆในการแยกตัวประกอบแบบกำลังสองสมบูรณ์นี้ออกค่ะ เรียนจากพี่โต๋ไปแล้ว ลองไปฝึกทำโจทย์แยกตัวประกอบด้วยตัวเองดูอีกสัก 50 ข้อนะคะ ไม่นานหรอก ชั่วโมงเดียวก็เสร็จแล้ว แล้วน้องจะแรงแซงใคร 🙂
เรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ออนไลน์ด้วยคลิปวีดีโอบนเว็ป ได้ที่ http://www.dektalent.com คลิปวีดีโอคมชัดกว่า และใหญ่กว่า 2 เท่า เนื้อหาเรื่องแยกตัวประกอบนี้เป็นส่วนหนึ่งของคอร์สเรียนฟรีออนไลน์ 5 ชั่วโมงค่ะ ยังมีอยู่อีกเยอะในเว็ปนะ
ติดตามพี่โต๋ได้ที่
http://www.dektalent.com
http://www.facebook.com/dektalentcom
http://www.twitter.com/dektalentcom
2-1กำลังสองสมบูรณ์1/5
2
แสดงการทำกำลังสองสมบูรณ์ x + 2x 3
ผ่าทฤษฎี “คนไทยมาจากไหน?”
คนไทยมาจากไหน? คนไทยมีถิ่นกำเนิดเดิมอยู่ที่ใด? ยังเป็นปัญหาที่มีคำตอบแตกต่างกันไปหลายแนว และวันนี้เราจะมาทำความเข้าใจ 5 ทฤษฎี คนไทยมาจากไหน? ว่าแต่ละทฤษฎีจะมีความเป็นมาและน่าเชื่อถืออย่างไร ก็ขอให้ผู้ฟังพิจารณาตามกันไป จะมีทฤษฎีอะไรบ้าง ไปฟังกันเลยครับ
ข้อมูลอ้างอิง
สายชล สัตยานุรักษ์. การวิจัยเพื่อสร้างองค์ความรู้ใหม่ : ประวัติศาสตร์สังคมไทย ฉบับสมบูรณ์. สกว. 2558.
กาญจนี ละอองศรี, พิเศษ เจียรจันทร์พงษ์ “แนวคิดเรื่องถิ่นกำเนิดไทย และการก่อตัวของชุมชน” ในเอกสารการสอน ประวัติศาสตร์ไทย หน่วยที่ 18. มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช.
สันต์ ท. โกมนบุตร แปล. จดหมายเหตุลาลูแบร์, ราชอาณาจักรสยาม. กรุงเทพ : ก้าวหน้า. 2510.
และอื่นๆ
สรุปจบ COP26 เกิดอะไรขึ้นบ้าง ?
การประชุม COP26 คืออะไร ?
.
มันสำคัญยังไงที่ผู้นำทั่วโลกถึงต้องมากัน(แล้วประเทศเรามีส่วนอะไรบ้าง)!!
.
สาระสำคัญคืออะไร เกี่ยวข้องกับคุณ คุณ คุณ และวันนะซิงยังไงบ้าง
.
เดี๋ยววันนะซิงจะสรุปให้ทุกคนฟัง!!
.
เถื่อนWeekly เถื่อนChannel COP26
สนับสนุนรายการช่องเถื่อนChannel
บัญชี ธ.กสิกรไทย เลขบัญชี 0438245901
นาย วรรณสิงห์ ประเสริฐกุล
ติดตามรายการดี ๆ จากช่องเถื่อนChannelได้ที่
FB เถื่อนChannel : www.facebook.com/TuenChannel/
Wannasingh Prasertkul : www.facebook.com/wannasingh/
YouTube : www.youtube.com/tuenchannel
นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูบทความเพิ่มเติมในหมวดหมู่LEARN FOREIGN LANGUAGE
ขอบคุณที่รับชมกระทู้ครับ กําลังสองสมบูรณ์ ภาษาอังกฤษ