Skip to content
Home » [NEW] (คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4 – ดาวน์โหลดหนังสือ | เฉลย คู่มือ ครู คณิตศาสตร์ ป 4 ส สว ท – NATAVIGUIDES

[NEW] (คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4 – ดาวน์โหลดหนังสือ | เฉลย คู่มือ ครู คณิตศาสตร์ ป 4 ส สว ท – NATAVIGUIDES

เฉลย คู่มือ ครู คณิตศาสตร์ ป 4 ส สว ท: นี่คือโพสต์ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้

บทที่ 1 | เซต 39 คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 3. 1) A′ 2) B′ d 3) A′∩ B′ 5) A′∪ B′ 4) ( A ∪ B)′ s 7) A − B 6) ( A ∩ B)′ s 8) A ∩ B′ d สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 2) A ∪ ( B ∪ C ) d 40 คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s 5) ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s 5. 1) A ∩ C ก 2) C ∪ B′ 3) B − A ก สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 41 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 6. 1) ∅ ก 2) A 3) ∅ ก 4) U 5) U ก 6) ∅ 7) A′ ก 8) ∅ แบบฝกหดั 1.3 1. ก เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′ จํานวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41 2. 1) n( A ∪ B) =42 2) n( A − B) =12 ก 3) n( A′∩ B′) =8 ป 3. 1) n( A ∪ C ) =40 2) n( A ∪ B ∪ C ) =43 ก 3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก 4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก 5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก 4. n( A ∩ B) =6 ก 5. n( B) = 60 ก 6. 10 คน 7. 152 คน คดิ เปน รอยละ 48.72 ของจาํ นวนผูสูบบุหรท่ี ้ังหมด 8. 100 คน 9. 2,370 คน สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 42 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 แบบฝก หัดทายบท 1. 1) { 48} ด 2) ∅ 3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 } 5) {1, 2, 3,  , 10 } ด 2. 1) ตวั อยางคําตอบ { x | =x 3n − 2 เมื่อ n∈ และ 1 ≤ n≤ 5} 2) ตัวอยางคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 } 3) ตวั อยางคาํ ตอบ { x |=x 4n +1 เมอ่ื n∈} } 4) ตัวอยางคาํ ตอบ { x | x = n3 เมื่อ n∈} } 3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนนั ต 3) เซตจํากัด 4) เซตจํากัด 5) เซตอนนั ต 4. 1) เปน จริง 2) เปน จริง 3) เปนเท็จ 4) เปนจรงิ 5) เปนจริง 6) เปน เทจ็ 5. 1) A จ 2) ∅ 3) U จ 4) A 5) A จ 6) U 6. 1) A ∪ B = A ∪ ( B − A) จ 2) A ∩ B′ = A − ( A ∩ B) 3) A′∩ B′ = U − ( A ∪ B) จ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 43 คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 7. 1) A′∩ B ก จ 2) ( A ∩ B′ )′ 3) ( A ∪ B′ )′ ก 8. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C 3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B) สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 6) A′∩ (C′∩ B) 44 คูม อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 5) ( A∩ B′) ∪ C ก 7) A ∪ (C′∩ B)′ ก 9. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15 } 3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 } 5) {1, 4, 12 } จ 6) { 4, 7, 12 } 7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15 } 10. 1) เปนจริงจ 2) เปนจรงิ 3) เปนจรงิ 2) เปน จรงิ 11. 1) เปนจรงิ 4) เปน จริง 3) เปนจรงิ จ 5) เปนจรงิ จ 12. n( A) = 167 ก 13. 45% ด สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 45 คมู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 14. 1) 10% ด 2) 75% ด 15. 1) 13 คัน 2) 10 คนั 16. 405 คน 17. 1) 72% ก 2) 84% ก 4) 13%ก 3) 65% ก 2) 864 คน 18. 1) 52 คน 3) 136 คน 19. 16%ก 20. 1% ก สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอ้ื งตน 46 คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเ บื้องตน การศึกษาเร่ืองตรรกศาสตรมีความสําคัญตอการศึกษาคณิตศาสตรเพราะคณิตศาสตรเปนวิชา ที่มีเหตุมีผล และตรรกศาสตรเปนศาสตรที่วาดวยเร่ืองของการใชเหตุและผลในชีวิตประจําวัน ซ่งึ ความสามารถในการคิดและใหเ หตุผลเปนสงิ่ มีคณุ คามากทส่ี ดุ ของมนุษย เน้ือหาเรื่องตรรกศาสตร ทนี่ าํ เสนอในหนังสอื เรยี นรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 น้ี มีเปาหมายเพื่อให นักเรียนเรียนรูเก่ียวกับตรรกศาสตรเบ้ืองตน ในการสื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร ในบทเรียนน้มี ุงใหน ักเรียนบรรลตุ ัวชีว้ ดั และจุดมงุ หมายดงั ตอไปน้ี ตัวชว้ี ดั เขาใจและใชความรูเก่ยี วกบั เซตและตรรกศาสตรเ บื้องตน ในการสื่อสารและส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร จดุ มงุ หมาย 1. จาํ แนกขอความวาเปนประพจนห รอื ไมเปน ประพจน 2. หาคาความจรงิ ของประพจนท่มี ีตัวเช่อื ม 3. ใชค วามรูเกี่ยวกับตรรกศาสตรเ บอื้ งตน ในการสอ่ื สารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 47 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ความรูกอนหนา • ความรูเ กี่ยวกับจาํ นวนและสมการในระดับมัธยมศึกษาตอนตน • เซต 2.1 เนอ้ื หาสาระ 1. ประพจน คือ ประโยคหรือขอความท่ีเปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหน่ึงเทาน้ัน ซึ่งประโยคหรือขอความดงั กลาวจะอยูในรูปบอกเลาหรือปฏิเสธก็ได ในตรรกศาสตรเรียก การเปน “จริง” หรือ “เท็จ” ของแตล ะประพจนวา “คา ความจริงของประพจน” 2. ให p และ q เปนประพจนใด ๆ เมื่อเช่ือมดวยตัวเชื่อม “และ” ( ∧ ) “หรือ” ( ∨ ) “ถา…แลว…” ( → ) และ “ก็ตอเม่ือ” ( ↔ ) จะมีขอตกลงเกี่ยวกับคาความจริงของ ประพจนท่ีไดจากการเชื่อมประพจน p และ q โดยให T และ F แทนจริงและเท็จ ตามลําดบั ดงั น้ี p q p∧q p∨q p→q p↔q TTTTTT T FFT FF FT FT T F FFFFT T ถา p เปนประพจนใด ๆ แลว นิเสธของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ  p และเขียน ตารางคา ความจริงของ  p ไดดังนี้ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 48 คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 p p TF FT 3. ให p, q และ r เปน ประพจนซงึ่ ยังไมกาํ หนดคาความจรงิ จะเรียก p, q และ r วา เปน ตัวแปรแทนประพจนใด ๆ และเรียกประพจนท ี่มตี ัวเชอื่ ม เชน  p, p ∧ q, p ∨ q, p → q, p ↔ q วา “รปู แบบของประพจน” 2.2 ขอเสนอแนะเกย่ี วกับการสอน ประพจน ประเด็นสาํ คญั เกีย่ วกับเน้ือหาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน • การจําแนกขอความวาเปนประพจนหรือไมเปนประพจน อาจไมจําเปนตองทราบ คา ความจริงที่แนนอนของประพจนน ้นั เชน มีสงิ่ มีชวี ติ อยบู นดาวอังคาร • การเลือกตัวอยางในชั้นเรียนหรือแบบทดสอบระหวางเรียนท่ีจะใหนักเรียนบอก คา ความจริงของประพจนท่ีไมใชขอความทางคณิตศาสตร ครูควรเลือกใหเหมาะสมกับ ความรูและประสบการณของนักเรียน เชน ยุงลายเปนพาหะของโรคไขเลือดออก โรคเลือดออกตามไรฟนเปนโรคที่เกิดจากการขาดวิตามินซี และหลีกเล่ียงตัวอยางขอความ ทใี่ ชความรูสกึ ในการตดั สินวาขอความนัน้ เปนจรงิ หรือเท็จ เชน นารสี วย ปกรณเ ปน คนดี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 49 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 • ในการสอนเก่ียวกับประพจน ครูไมควรยกตัวอยางขอความที่ใชสรรพนามบุรุษที่ 2 และ 3 เชน เขาซื้อขนม ลุงกับปาไปเที่ยวตางประเทศ ซึ่งอาจทําใหนักเรียนเกิดความสับสนวา ขอ ความดังกลาวเปนประพจนหรือไม เนื่องจากนักเรียนจะตองทราบบริบทของขอความ ดังกลาวจึงจะสามารถสรุปคาความจริงของขอความดังกลาวได เชน “เขา” “ลุง” “ปา” หมายถึงใคร ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกบั แบบฝกหัด แบบฝก หดั 2.1 2. จงเขียนประโยคหรือขอความที่เปนประพจนมา 5 ประพจน พรอมท้ังบอก คา ความจรงิ ของประพจนน นั้ ๆ แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ โดยอาจเปนไดท้ังขอความทางคณิตศาสตร เชน ∅∈{1, 2, 3} และไมใชขอความทางคณิตศาสตร เชน หน่ึงปมีสิบสองเดือน ควรให นกั เรยี นมีอิสระในการเขียนประโยคหรอื ขอ ความท่ีเปน ป ร ะ พ จ น ซึ่ ง คํ า ต อ บ ข อ ง นักเรียนไมจาํ เปน ตอ งตรงกับทค่ี รคู ดิ ไว การเชอื่ มประพจน การเชอื่ มประพจนด วยตวั เชอื่ ม “และ” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “และ” โดยให นกั เรยี นทาํ กิจกรรมตอไปนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 50 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 กจิ กรรม : การแตงกายของลกู ปด ให p แทนขอความ “ลูกปด ใสเส้ือสีขาว” และ q แทนขอความ “ลกู ปด ใสกางเกงสีฟา ” จะไดว า p ∧ q แทนขอ ความ “ลกู ปดใสเ สื้อสขี าวและลูกปดใสก างเกงสฟี า” หรือเขียนโดยยอ เปน “ลูกปดใสเ สื้อสีขาวและกางเกงสฟี า” ขน้ั ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครใู หน กั เรยี นเติมตารางคาความจรงิ ตอ ไปนี้ ลกู ปดใสเ สอ้ื สีขาว ลกู ปด ใสกางเกงสีฟา ลูกปด ใสเสอื้ สีขาวและกางเกงสีฟา ( p) (q) ( p ∧q) การ 2. ครใู หนกั เรียนรว มกนั อภปิ รายเกย่ี วกับตารางคาความจรงิ ท่ไี ดจากขอ 1 เม่ือจบกจิ กรรมนแ้ี ลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเชื่อมประพจนดวย “และ” มีขอตกลง วาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีที่ประพจนท่ีนํามาเช่ือมกันน้ันเปนจริงทั้งคู กรณีอื่น ๆ เปน เท็จทกุ กรณี จากน้ันครสู รุปการเขียนตารางคาความจรงิ ของ p ∧ q สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 51 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 ประเด็นสําคัญเกย่ี วกับเนอ้ื หาและส่ิงทีค่ วรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน สําหรับภาษาที่ใชในชีวิตประจําวัน อาจแทนตัวเช่ือม “และ” ดวยคําอื่นซ่ึงใหความหมาย อยางเดียวกัน เชน “แต” “นอกจากนั้นแลว” “ถึงแมวา” “ในขณะที่” ตัวอยางประโยค ที่พบไดในชีวิตประจําวัน เชน วรรณชอบวิชาคณิตศาสตรแตนุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ สมศักด์ิเปนหัวหนาหองนอกจากน้ันแลวเขายังเปนประธานนักเรียนดวย วิชัยทํางานหนัก ถึงแมว า เขาปวย นํา้ ผึ้งอานหนังสือในขณะท่นี า้ํ ฝนดโู ทรทัศน การเช่อื มประพจนด วยตวั เช่อื ม “หรอื ” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “หรือ” โดยให นกั เรียนทาํ กจิ กรรมตอ ไปน้ี กจิ กรรม : สัตวเ ลย้ี งของตน น้าํ ให p แทนขอ ความ “ตนนา้ํ เลย้ี งแมว” และ q แทนขอความ “ตน นํา้ เลย้ี งนก” จะไดว า p ∨ q แทนขอ ความ “ตน น้ําเล้ียงแมวหรอื ตนน้าํ เลีย้ งนก” หรือเขยี นโดยยอ เปน “ตนนํ้าเล้ียงแมวหรอื นก” ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครใู หนกั เรยี นเติมตารางคา ความจรงิ ตอ ไปนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 52 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 ตนนํา้ เลยี้ งแมว ตน นํา้ เล้ียงนก ตนนา้ํ เลี้ยงแมวหรอื นก ( p) (q) ( p∨ q) การ 2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภปิ รายเกี่ยวกับตารางคา ความจริงท่ีไดจากขอ 1 เม่ือจบกจิ กรรมนแ้ี ลว ครูควรใหนกั เรยี นสรุปไดว าในการเช่ือมประพจนดว ย “หรือ” มขี อตกลงวา ประพจนใ หมจ ะเปน เทจ็ ในกรณที ีป่ ระพจนท ีน่ าํ มาเช่ือมกันเปนเท็จทัง้ คู กรณีอนื่ ๆ เปนจรงิ ทกุ กรณี จากนั้นครูสรปุ การเขียนตารางคา ความจริงของ p ∨ q ประเด็นสําคญั เกยี่ วกบั เน้ือหาและสงิ่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกบั การสอน การใชตัวเชื่อม “หรือ” ในทางตรรกศาสตรจะหมายถึงการเลือกอยางใดอยางหน่ึงหรือ ทง้ั สองอยาง สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 53 คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 การเชือ่ มประพจนด ว ยตัวเช่ือม “ถา…แลว …” ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ถา…แลว…” โดยใหน ักเรยี นทาํ กิจกรรมตอไปน้ี กิจกรรม : สัญญาระหวางพอกับจิ๋ว ให p แทนขอ ความ “จิ๋วกวาดบาน” และ q แทนขอความ “พอ ใหขนม” จะไดว า p → q แทนขอ ความ “ถาจ๋ิวกวาดบา นแลวพอ จะใหขนม” การรักษาสัญญาของพอจะเทียบกบั คา ความจริงของ p → q ซึ่งในกรณีท่ี p → q เปนจริง หมายถงึ พอรกั ษาสัญญา ในกรณที ่ี p → q เปน เทจ็ หมายถึง พอไมร ักษาสญั ญา ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครูใหน กั เรียนเติมคาความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้ จว๋ิ กวาดบา น พอ ใหขนม พอรักษาสัญญา ( p) (q) ( p → q) 2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภิปรายเกี่ยวกบั ตารางคา ความจรงิ ท่ไี ดจากขอ 1 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 54 คูมือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เม่ือจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ถา…แลว…” มีขอตกลงวา ประพจนใหมจะเปนเท็จในกรณีที่เหตุเปนจริงและผลเปนเท็จเทาน้ัน กรณีอ่ืน ๆ เปน จริงทุกกรณี ครคู วรช้ีแจงเพิ่มเติมวาประพจนซ ึง่ ตามหลังคําวา ถา เรียกวา “เหตุ” สวนประพจน ซ่งึ ตามหลังคาํ วา แลว เรยี กวา “ผล” จากนน้ั ครสู รปุ การเขียนตารางคาความจรงิ ของ p → q การเชื่อมประพจนดวยตัวเช่ือม “กต็ อเม่ือ” ครูอาจนําเขาสูบ ทเรยี นเพ่อื ใหน ักเรยี นเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ก็ตอเมื่อ” โดยให นักเรยี นทํากจิ กรรมตอไปนี้ กจิ กรรม : เกรดวิชาคณิตศาสตรข องปุยนุน คาความจริงของประพจนที่มีตัวเช่ือม “ก็ตอเม่ือ” อาจพิจารณาจากสถานการณในชีวิตจริงได เชน โรงเรียนแหงหน่ึงกําหนดวา “นักเรียนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือนักเรียนได คะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร” สมมติวาปุยนุนเปนนักเรียนของ โรงเรียนแหงน้ี ให p แทนขอความ “ปยุ นุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร” และ q แทนขอความ “ปุยนุนไดคะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร” จะไดวา p ↔ q แทนขอความ “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือปุยนุน ไดค ะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเตม็ วชิ าคณิตศาสตร” การเกดิ ขน้ึ ไดของสถานการณนจ้ี ะเทียบไดกับคาความจริงของ p ↔ q ในกรณีท่ีสถานการณนี้เกดิ ข้ึนไดจริง จะไดวา p ↔ q เปน จรงิ ในกรณีทส่ี ถานการณนไ้ี มส ามารถเกิดขึน้ ได จะไดว า p ↔ q เปน เทจ็ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 55 คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 ขนั้ ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครใู หน กั เรยี นเติมตารางคา ความจริง ตอ ไปนี้ ปยุ นนุ ไดเกรด 4 วชิ า ปยุ นนุ ไดคะแนนตั้งแต การเกิดขึ้นไดของ คณิตศาสตร 80% ของคะแนนท้งั หมด สถานการณนี้ ( p) (q) ( p ↔ q) 2. ครูใหนักเรียนรวมกนั อภิปรายเกย่ี วกบั ตารางคาความจรงิ ทีไ่ ดจ ากขอ 1 การ เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ก็ตอเม่ือ” มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีท่ีประพจนที่นํามาเช่ือมกันนั้นเปนจริงทั้งคูหรือ เปนเท็จทั้งคูเทาน้ัน กรณีอื่น ๆ เปนเท็จเสมอ จากน้ันครูสรุปการเขียนตารางคาความจริง ของ p ↔ q ประเดน็ สําคัญเกี่ยวกับเน้ือหาและสิ่งทค่ี วรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน ตัวเช่ือม “ก็ตอเมื่อ” พบไดบอยในการศึกษาคณิตศาสตร เชน บทนิยามเก่ียวกับ รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซ่ึงกลาววา “รูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานยาว เทากันสองดาน” หมายความวา “รูปสามเหล่ียมใดจะเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วก็ตอเมื่อ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 56 คมู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 รูปสามเหลี่ยมน้ันมีดานยาวเทากันสองดาน” ซ่ึงมีความหมายเดียวกับ “ถารูปสามเหล่ียมใด เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่วแลวรูปสามเหล่ียมน้ันจะมีดานยาวเทากันสองดาน และถา รปู สามเหล่ียมใดมีดา นยาวเทา กนั สองดา นแลวรูปสามเหลี่ยมน้ันจะเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจ่ัว” นเิ สธของประพจน ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับนิเสธของประพจน โดยใหนักเรียน ทาํ กิจกรรมตอไปนี้ กิจกรรม : งานอดเิ รกของหนูดี ให p แทนขอความ “หนดู อี านหนังสือ” จะไดว า  p แทนขอความ “หนูดีไมไดอ า นหนงั สือ” จะไดตารางคา ความจริง ดังน้ี ขัน้ ตอนการปฏิบัติ 1. ครใู หน ักเรียนเติมคาความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้ หนูดีอานหนังสือ หนูดีไมไดอ านหนงั สือ ( p) p 2. ครใู หน ักเรียนรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับตารางคาความจริงทีไ่ ดจ ากขอ 1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 57 คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาคาความจริงของนิเสธจะตรงขามกับคาความจริง ของประพจนเ ดมิ เสมอ จากน้ันครสู รุปการเขยี นตารางคา ความจริงของ  p การหาคา ความจรงิ ของประพจน ประเดน็ สําคัญเกยี่ วกับเน้ือหาและสิ่งท่คี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน • ครูควรเขียนวงเล็บในตัวอยางท่ีตองการใหนักเรียนพิจารณาคาความจริงทุกครั้ง ไมควรละวงเล็บไวใหนักเรียนตัดสินใจเอง ยกเวนตัวเช่ือม “  ” ซึ่งในหนังสือเรียน ของ สสวท. ไมไดใสวงเล็บไวเชนกัน เน่ืองจากถือวาเปนตัวเช่ือมที่ตองหาคาความจริง กอ น เชน สําหรบั ประพจน p∨  p นนั้ ตองหาคา ความจริงของ  p กอน แลวจึงหา คาความจรงิ ของ p∨  p ซ่งึ มีความหมายเชนเดยี วกบั p ∨ ( p) • การหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเช่ือมสามารถทําไดหลายวิธี ทั้งนี้ครูควรให นกั เรียนฝกฝนการหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเชื่อมโดยใชแผนภาพ ซ่ึงสามารถ เขียนแสดงไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแผนภาพโดยไมจําเปน จะตอ งตรงกับทคี่ รูคดิ ไว จะเปน ประโยชนใ นการศกึ ษาหัวขอตอ ๆ ไป 2.3 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรยี น การวดั ผลระหวา งเรยี นเปน การวัดผลการเรยี นรูเ พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทาํ แบบฝก หัดเปนแนวทางหนงึ่ ท่ีครอู าจใชเ พ่อื ประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน 58 คูมือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 นกั เรยี น ซง่ึ หนังสือเรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ที่ครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน ครูอาจใช แบบฝกหัดเพ่ือวดั ผลประเมินผลความรูในแตละเนอ้ื หาไดด งั นี้ เน้ือหา แบบฝก หดั ประพจนแ ละคาความจริงของประพจน 2.1ก ขอ 1, 2 การเชอื่ มประพจนแ ละคาความจรงิ ของประพจนที่มีตัวเชือ่ ม 2.2ก ขอ 1, 2, 3 2.4 การวิเคราะหแ บบฝก หัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน ไดเ รียนจบบทที่ 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน แลว นักเรียนสามารถ 1. จาํ แนกขอ ความวา เปน ประพจนห รือไมเปน ประพจน 2. หาคา ความจริงของประพจนท ีม่ ตี วั เชอื่ ม 3. ใชความรเู กยี่ วกับตรรกศาสตรเ บ้ืองตนในการสื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร ซง่ึ หนังสอื เรียนรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 ไดนาํ เสนอแบบฝก หัดทายบท ที่ประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความเขาใจ ของนักเรียนตามจดุ มุง หมาย ซึง่ ประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบท เพือ่ ตรวจสอบวา นกั เรียนมีความสามารถตามจดุ มงุ หมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรือไม ท้ังนี้ แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน สอดคลอ งกบั จดุ มุงหมายของบทเรียน ดงั น้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 59 คูม อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 ขอ ขอ จําแนกขอ ความ จดุ มุงหมาย ใชค วามรเู ก่ียวกบั ยอย หาคา ความจรงิ ของ ตรรกศาสตรเ บ้ืองตน วา เปน ประพจน ประพจนที่มีตัวเช่ือม ในการสอ่ื สารและ หรอื ไมเ ปน ประพจน สื่อความหมายทาง โจทยฝ ก ทกั ษะ โจทยฝก ทักษะ คณิตศาสตร โจทยฝ กทกั ษะ 1. 1)  โจทยฝ กทกั ษะ 2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  2. 1) 2) 3) 4) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 60 คูม ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 ขอ ขอ จาํ แนกขอความ จดุ มุงหมาย ใชค วามรูเกี่ยวกับ ยอ ย ตรรกศาสตรเบ้ืองตน วาเปนประพจน หาคา ความจรงิ ของ ในการสอื่ สารและ หรอื ไมเ ปน ประพจน ประพจนท่ีมีตัวเชื่อม ส่ือความหมายทาง โจทยฝก ทักษะ คณติ ศาสตร โจทยฝ ก ทกั ษะ 5) 6)  3. 1)  2)  3)  4) 4. โจทยฝ ก ทักษะ 5. 1) 2)  3)  4)  5)  6. 1)  2)  3)   สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 61 คมู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ จดุ มงุ หมาย ใชความรเู กย่ี วกบั ยอ ย ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน วา เปนประพจน หาคาความจรงิ ของ ในการส่ือสารและ หรอื ไมเปน ประพจน ประพจนที่มตี วั เช่ือม สอ่ื ความหมายทาง 4)  คณิตศาสตร 7. 1)  2)  3)  4)  8.  9.  10.  สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 62 คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 2.5 ความรูเพ่ิมเติมสาํ หรับครู • เปาหมายประการหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร คือ การศึกษาทําความเขาใจธรรมชาติ หรือ ปรากฏการณตาง ๆ โดยใช “ระบบเชิงคณิตศาสตร” (mathematical system) ซึ่งระบบ เชิงคณิตศาสตรเปนแนวคิดเชิงนามธรรมที่ใชแทนธรรมชาติ หรือปรากฏการณอยางใด อยางหนึ่ง เชน “ระบบจํานวนจริง” (real number system) เปนแนวคิดท่ีใชแทนจํานวนหรือ ขนาดของส่ิงตาง ๆ หรือ “เรขาคณิตแบบยุคลิด” (Euclidean geometry) เปนแนวคิดหน่ึงที่ใช แทนวัตถตุ าง ๆ ในปริภูมิ • ระบบเชิงคณติ ศาสตรแ ตล ะระบบ มีองคประกอบดงั ตอไปน้ี 1. เอกภพสัมพัทธ (universe) คือ เซตของส่ิงท่ีจะศึกษาในระบบน้ัน เชน เซตของ จาํ นวนนับ เซตของจํานวนเตม็ เซตของจาํ นวนจริง 2. คําอนิยาม (undefined term) ไดแก คําซ่ึงเปนที่เขาใจความหมายกันโดยทั่วไป โดยไมตองอธิบาย เชน คําวา “เหมือนกัน” หรือคําวา “จุด” และ “เสน” ใน เรขาคณติ แบบยคุ ลดิ 3. คํานิยาม (defined term) คือ คําท่ีสามารถใหความหมายโดยใชคําอนิยาม หรือคํานิยาม อน่ื ท่มี มี ากอ นแลวได เชน คําวา “จาํ นวนคู” หรอื คาํ วา “รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก” 4. สัจพจน (axiom) คือ ขอความที่กําหนดใหเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตรนั้น โดยไมตองพิสูจน เชน สัจพจนเชิงพีชคณิตของระบบจํานวนจริง สัจพจนเชิงอันดับ ของระบบจํานวนจริง สจั พจนความบรบิ รู ณของระบบจํานวนจรงิ 5. ทฤษฎีบท (theorem) คือ ขอความที่พิสูจนแลววาเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตร ที่กาํ หนด โดยการพิสูจน (proof) คือ กระบวนการอางเหตุผลตามหลักตรรกศาสตร เพือ่ นําไปสขู อสรุปที่ตองการ ซึ่งมักตองนําคําอนิยาม คํานิยาม รวมทั้งสัจพจน หรือ ทฤษฎบี ททีม่ อี ยูกอนแลว มาใชในการพสิ ูจน เชน ทฤษฎีบทของพที าโกรัส สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 63 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 ในบางกรณี ขอความที่พิสูจนแลววาเปนจริง อาจไมเรียกวาทฤษฎีบทเสมอไป โดย มีคําเฉพาะที่ใชเรียกทฤษฎีบทบางประเภท เชน “บทต้ัง” (lemma) ที่ใชเรียกทฤษฎี บทซ่ึงจะนําไปใชพิสูจน ทฤษฎีบทถัดไปที่เปนทฤษฎีบทหลัก หรือทฤษฎีบทที่มี ความสาํ คัญมากกวา และ “บทแทรก” (corollary) ที่ใชเรียกทฤษฎีบทซ่ึงเปนผลอยาง งายจากทฤษฎีบทที่มีมากอนหนา นอกจากน้ี ในบางกรณี จะใชคําวา “สมบัติ” (property) แทนขอความที่เปนจริงใด ๆ ในระบบเชิงคณิตศาสตรระบบหน่ึง โดยสมบัติอาจเปนความจริงเก่ียวกับคํานิยาม สัจพจน หรือทฤษฎีบทก็ได และอาจใชคําวา “กฎ” (law) สําหรับความจริงท่ีเปน สจั พจนห รอื ทฤษฎบี ทอีกดวย ครูควรระลึกอยูเสมอวา ความรูทางคณิตศาสตรที่กําลังพิจารณาเปนองคประกอบใด ของระบบเชิงคณิตศาสตร นั่นคือ ควรทราบวาสิ่งใดเปนสัจพจน สิ่งใดเปนทฤษฎีบท เชน ไมค วรพยายามพิสจู นส จั พจนเ กีย่ วกบั จาํ นวนจรงิ ในระบบจาํ นวนจริง 2.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนน้จี ะนาํ เสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบ้ืองตน สําหรับรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ท่ีตอ งการวดั ผลประเมนิ ผล ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท 1. จงพิจารณาประโยคหรอื ขอความตอไปนีว้ าเปน ประพจนหรือไม ถาเปนประพจน จงหาคาความจริงของประพจนน น้ั สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน 64 คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 1) งวงนอนจัง 2) เธอตอ งไปเดี๋ยวน้ี 3) π = 22 7 4) 1∉{2, 3} 5) 2 ไมใชจํานวนจริง 6) 1, 2, 3,  7) ทาํ ไม a + b = b + a 2. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ่ึง p และ q มีคาความจริงเปนจริงและเท็จ ตามลาํ ดับ จงหาคาความจริงของประพจนต อไปน้ี 1) ( p ↔ q) → r 2) ( p∧  q) ∨ r 3. กําหนดให p และ q เปนประพจนใด ๆ ถา r เปนประพจนเชิงประกอบท่ีเกิดจาก การเชอื่ มประพจน p กับ q ซ่ึงมคี าความจริงดงั ตารางตอไปน้ี pq r TT F TFT FT T FF F จงเขียนประพจน r ในรูปประพจน p กบั q สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 65 คูมอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 4. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ่ึง p → q, q → r และ r → p มีคาความจริง เปนจริง จงหาคาความจรงิ ของประพจน p ↔ r 5. จงหานิเสธของขอความ “ถา x เปน จาํ นวนนบั แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปนจาํ นวนคี่” เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท 1. 1) ไมเปนประพจน 2) ไมเ ปน ประพจน 3) เปน ประพจน มีคาความจริงเปน เท็จ 4) เปนประพจน มีคา ความจริงเปนจรงิ 5) เปน ประพจน มีคา ความจริงเปน เท็จ 6) ไมเ ปนประพจน 7) ไมเ ปน ประพจน 2. 1) จาก p เปน จริง และ q เปน เท็จ จะได p ↔ q เปน เทจ็ ดังน้นั ( p ↔ q) → r มีคา ความจรงิ เปนจริง 2) จาก q เปน เท็จ จะได  q เปนจริง จาก p เปน จริง และ  q เปน จริง จะได p∧  q เปน จรงิ ดังนั้น ( p∧  q) ∨ r มคี า ความจริงเปนจริง 3. ตัวอยางคาํ ตอบ  ( p ↔ q)  ( p → q) ∧ (q → p) สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 66 คมู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 4. พิจารณาตารางคา ความจริงดังนี้ p→q q→r r→ p pq r TTT T T T TTF T F T T FT F T T T FF F T T FTT T T F FT F T F T F FT T T F FFF T T T สังเกตวาถา p → q, q → r และ r → p มคี าความจรงิ เปนจริง จะได p, q และ r ตองมีคา ความจริงเปน จรงิ ทั้งหมด หรอื เปน เทจ็ ท้ังหมด ดงั นั้น p ↔ r มคี าความจรงิ เปนจริง 5. ให p แทนประพจน “ x เปนจํานวนนบั ” q แทนประพจน “ x เปนจํานวนคู” r แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนค่ี” จะไดวา ขอ ความ “ถา x เปน จาํ นวนนับ แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปน จํานวนคี่” เขียน แทนดวยรปู แบบของประพจน p → (q ∨ r) นเิ สธของ p → (q ∨ r) คือ   p → (q ∨ r ) เน่ืองจาก   p → (q ∨ r ) ≡   p ∨ (q ∨ r ) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 67 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 ≡ p∧  (q ∨ r) ≡ p∧  q∧  r โดยท่ีรูปแบบของประพจน p∧  q∧  r แทนขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ และ x ไม เปน จํานวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนค่ี” ดังนน้ั นิเสธของขอ ความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจํานวนคี่” คอื “ถา x เปน จาํ นวนนับ และ x ไมเ ปนจาํ นวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนคี่” 2.7 เฉลยแบบฝก หดั คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนท่ี 2 เฉลยคําตอบพรอ มวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัดที่ อยใู นสวนน้เี ปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไ ดน าํ เสนอวิธีทาํ อยา งไรก็ตามครูสามารถ ศึกษาวธิ ที ําโดยละเอยี ดของแบบฝกหดั ไดใ นสว นทา ยของคูมือครเู ลม น้ี แบบฝกหัด 2.1 1. 1) เปน ประพจน ทีม่ คี าความจริงเปน เท็จ 2) เปนประพจน ที่มคี าความจรงิ เปน จริง 3) เปนประพจน ท่ีมีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 4) ไมเ ปน ประพจน 5) ไมเ ปน ประพจน 6) เปน ประพจน ที่มีคาความจรงิ เปนจรงิ 7) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจรงิ เปนเท็จ 8) เปนประพจน ทม่ี ีคา ความจรงิ เปน เท็จ 9) ไมเปนประพจน 10) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปน จริง 11) เปน ประพจน ทม่ี คี าความจริงเปนเทจ็ 12) เปน ประพจน ท่มี คี าความจรงิ เปน จรงิ 13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเ ปน ประพจน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บ้อื งตน 68 คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 15) เปน ประพจน ทมี่ คี าความจรงิ เปนเทจ็ 16) ไมเปนประพจน 17) ไมเ ปนประพจน 18) เปน ประพจน ทีม่ ีคาความจรงิ เปนจรงิ 2. ตวั อยางคําตอบ 2 > 3 เปนประพจน ทม่ี คี าความจริงเปนเทจ็ ∅ ∈ {1, 2, 3} เปน ประพจน ทม่ี ีคาความจริงเปน เท็จ หนง่ึ ปมสี ิบสองเดือน เปนประพจน ท่มี ีคาความจริงเปน จริง 4 เปนจาํ นวนอตรรกยะ เปนประพจน ท่ีมคี าความจรงิ เปน เท็จ เดือนมกราคม มี 31 วนั เปน ประพจน ท่ีมคี า ความจรงิ เปน จริง แบบฝก หดั 2.2 1. 1) นิเสธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คือ 4 + 9 ≠ 10 + 3 มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 2) นเิ สธของประพจน −6 </ 7 คอื −6 < 7 มีคา ความจรงิ เปน จรงิ 3) นิเสธของประพจน 100 ไมเปนจาํ นวนเตม็ คอื 100 เปน จํานวนเต็ม มคี าความจริงเปนจรงิ 4) นเิ สธของประพจน 2 ⊄ {2} คือ 2 ⊂ {2} มีคาความจรงิ เปน เท็จ 2. 1) มีคา ความจริงเปนเท็จ 2) มคี าความจรงิ เปน จริง 3) มคี าความจริงเปน เท็จ 4) มคี าความจรงิ เปน จริง 5) มคี า ความจริงเปน เท็จ 6) มคี าความจริงเปน เท็จ 7) มคี า ความจริงเปนจริง 8) มคี าความจริงเปน เทจ็ 9) มีคา ความจริงเปน เท็จ 10) มคี า ความจรงิ เปน เท็จ 11) มคี าความจริงเปนจรงิ 12) มีคา ความจริงเปน จรงิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 69 คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 3. 1) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมคี า ความจริงเปน จรงิ 2) ประพจนที่กําหนดใหอยูในรูป p ∨ q และมคี าความจรงิ เปน จริง 3) ประพจนที่กาํ หนดใหอยูในรปู  p และมีคา ความจริงเปนเทจ็ 4) ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรปู p ↔ q และมคี าความจรงิ เปน จรงิ 5) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ↔ q และมีคาความจรงิ เปนจรงิ 6) ประพจนที่กาํ หนดใหอยใู นรูป p → q และมคี า ความจริงเปนจริง 7) ประพจนที่กาํ หนดใหอยใู นรปู p ∧ q และมคี า ความจรงิ เปน เทจ็ 8) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q และมีคาความจรงิ เปน จริง แบบฝก หัดทายบท 1. 1) ไมเปน ประพจน 2) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปนจรงิ 3) เปน ประพจน ที่มคี าความจริงเปน จริง 4) เปนประพจน ทมี่ ีคาความจรงิ เปน เท็จ 5) ไมเ ปนประพจน 6) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปน เท็จ 7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเปนประพจน 9) เปนประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปนจริง 10) เปน ประพจน ท่ีมคี าความจริงเปน จริง 2. 1) ขอความท่ีกําหนดใหอยูในรูป p ∨ q 2) ขอความทีก่ ําหนดใหอยูในรูป p ↔ q 3) ขอ ความทกี่ าํ หนดใหอ ยูในรปู p ∧ q  r 4) ขอความท่ีกาํ หนดใหอ ยูในรปู ( p ∧ q) → r 5) ขอ ความทก่ี ําหนดใหอ ยูในรูป p → ( q∨  r) 6) ขอความทก่ี ําหนดใหอ ยูในรูป ( p ∨ q) → (r ∨ s ∨ (r ∧ s)) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอ้ื งตน 70 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 3. 1) นิเสธของประพจน −20 + 5 > −17 คอื −20 + 5 ≤ −17 มีคา ความจริงเปน เท็จ 2) นิเสธของประพจน 37 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ คือ 37 เปน จํานวนเฉพาะ มีคาความจริงเปน จริง 3) นิเสธของประพจน 2 ∈ คือ 2 ∉ มคี า ความจริงเปน จริง 4) นิเสธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มีคาความจริงเปน เทจ็ 4. ตัวอยางคาํ ตอบ • π ไมเปน จํานวนตรรกยะ • นิดาและนัดดาเปน นกั เรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 • รูปสเ่ี หล่ียมอาจเปน รูปส่ีเหล่ยี มมุมฉากหรือรูปส่ีเหลย่ี มดานขนานก็ได • รูปสามเหล่ียม ABC เปน รูปสามเหลย่ี มดานเทา กต็ อเมื่อรปู สามเหลยี่ ม ABC มดี าน ยาวเทากันทุกดา น 5. 1) มคี า ความจริงเปนจรงิ 2) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 3) มีคา ความจริงเปนจริง 4) มีคาความจรงิ เปน จรงิ 5) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 6. 1) ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรูป p → q และมคี า ความจริงเปน จรงิ 2) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมีคาความจริงเปนจริง 3) ประพจนท ่ีกําหนดใหอยูในรูป p ∨ q และมีคาความจริงเปนจริง 4) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรปู p ∨ q และมคี า ความจริงเปน จริง 5) ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยูในรูป p ∧ q และมีคา ความจริงเปนเทจ็ 7. 1) ประพจน q มีคาความจริงเปน จรงิ และประพจน r มีคา ความจริงเปน จริง 2) ประพจน r มคี า ความจริงเปน จริง และประพจน q มีคา ความจริงเปนเท็จ 3) ประพจน ( p∧  q) → r มีคาความจรงิ เปน จริง สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 71 คูม อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 4) ประพจน ( p ∨ q) ∧ r มีคาความจริงเปน เทจ็ 8. ฟา ใสมีสทิ ธ์ไิ ดเ ลือ่ นตําแหนง 9. สุริยาจะไดร ับเงนิ รางวลั 45,000 บาท เมฆาจะไมไดร บั เงนิ รางวลั กมลจะไดรบั เงนิ รางวลั 140,000 บาท และทิวาจะไดร ับเงนิ รางวัล 800,000 บาท 10. มานแกวจะสามารถกูเงนิ กับบริษัทนีไ้ ด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบ้อื งตน 72 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 บทท่ี 3 หลกั การนบั เบ้ืองตน การศึกษาเรื่องหลักการนับเบื้องตนมีความสําคัญตอการแกปญหาในชีวิตประจําวัน ซ่ึงใน ชีวิตประจําวันจะพบปญหาท่ีใชความรูเกี่ยวกับการนับอยูเสมอ เชน การวางแผนการจัดการ แขงขันกีฬา การกําหนดปายทะเบียนรถยนตน่ังสวนบุคคล การบริหารจัดการเกี่ยวกับการออกต๋ัว ชมการแสดง ซึ่งความรูเก่ียวกับหลักการนับ เชน หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู จะชวยใหสามารถนับจํานวนส่ิงของตาง ๆ ไดสะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสิ่งของน้ัน มีจํานวนมาก และมีองคประกอบที่ซับซอน เนื้อหาเรื่องหลักการนับเบ้ืองตนที่นําเสนอใน หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 นี้มีเปาหมายเพ่ือใหนักเรียน เรียนรูเกี่ยวกับหลักการนับเบื้องตนและนําไปใชในการแกปญหา สําหรับในบทเรียนน้ีมุงให นักเรยี นบรรลุตัวชว้ี ดั และจุดมงุ หมายดงั ตอไปน้ี ตัวชว้ี ดั เขาใจและใชหลกั การบวกและการคณู การเรยี งสบั เปลยี่ น และการจัดหมูในการแกป ญหา สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนับเบ้อื งตน 73 คูมือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 จดุ มงุ หมาย 1. ใชหลักการนับเบ้ืองตน ในการแกปญหา 2. ใชว ธิ ีเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เสน กรณที ี่สิ่งของแตกตา งกันทั้งหมดในการแกปญ หา 3. ใชวิธจี ดั หมกู รณที ีส่ ่งิ ของแตกตางกนั ท้ังหมดในการแกปญ หา ความรูก อนหนา • ความรเู กี่ยวกบั จาํ นวนและหลักการนับเบ้อื งตน ในระดับมัธยมศึกษาตอนตน 3.1 เนอื้ หาสาระ 1. หลกั การบวก ในการทํางานอยา งหน่ึง ถาสามารถแบง วิธที ํางานออกเปน k กรณี โดยที่ กรณที ่ี 1 สามารถทําได n1 วธิ ี กรณที ี่ 2 สามารถทาํ ได n2 วธิ ี  กรณีท่ี k สามารถทาํ ได nk วธิ ี ซ่ึงวิธีการทํางานในท้ัง k กรณีไมซํ้าซอนกันและการทํางานในแตละกรณีทําใหงานเสร็จ สมบรู ณ แลวจะสามารถทํางานนี้ไดท้งั หมด n1 + n2 ++ nk วธิ ี 2. หลักการคูณ ในการทํางานอยางหนึ่ง ถาสามารถแบงขั้นตอนการทํางานออกเปน k ขั้นตอน ซึ่งตอง ทาํ ตอเน่ืองกัน โดยที่ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 74 คูม อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 ข้ันตอนที่ 1 มีวิธีเลือกทําได n1 วิธี ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 สามารถทาํ ข้ันตอนท่ี 2 ได n2 วิธี ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 และขั้นตอนท่ี 2 สามารถทําขั้นตอนท่ี 3 ได n3 วิธี  ในแตล ะวิธขี องขั้นตอนท่ี 1 ถึงขน้ั ตอนท่ี k −1 สามารถทําขนั้ ตอนท่ี k ตอ ไปได nk วิธี แลวจะทาํ งาน k ข้ันตอน ได n1 × n2 ×× nk วิธี 3. ให n เปนจํานวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล n คือ การคูณของจํานวนเต็มบวกตั้งแต 1 ถึง n เขียนแทนดวย n! 4. การเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงเสนของสงิ่ ของท่แี ตกตา งกนั ทัง้ หมด จํานวนวิธีในการนําส่ิงของ r ช้ิน จากส่ิงของท่ีแตกตางกัน n ช้ิน มาเรียงสับเปลี่ยน เชิงเสน คือ Pn, r = n! วธิ ี (n − r)! 5. การจดั หมขู องสงิ่ ของท่แี ตกตางกนั ทง้ั หมด จาํ นวนวธิ จี ดั หมขู องส่ิงของทแ่ี ตกตางกนั n ชิน้ โดยเลอื กคราวละ r ชนิ้ คอื Cn, r = n! วธิ ี (n − r)!r! 3.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเห็นความสําคัญของหลักการนับ โดยใชกิจกรรม การนบั จํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ดังน้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 75 คมู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 กิจกรรม : หมายเลขรถยนต ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครูยกตัวอยางรูปปายทะเบียนรถยนตนั่งสวนบุคคลในกรุงเทพมหานครในปจจุบัน ซงึ่ ประกอบดวยเลขโดด 1 ตวั ทไี่ มใช 0 ตามดวยพยัญชนะไทย 2 ตวั และจํานวนเต็มบวกท่ี ไมเกนิ 4 หลัก 1 จาํ นวน ซึ่งมีลักษณะดังรปู 2. ครูใหนักเรียนบอกลักษณะท่ีสังเกตไดจากปายทะเบียน และเปรียบเทียบวามีความแตกตาง กับจังหวัดท่นี กั เรยี นอาศัยอยอู ยางไร เพราะเหตใุ ดจึงมีความแตกตางเชน นั้น 3. ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายวา ถาตองการทราบจํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ในรปู แบบนี้ จะมไี ดทงั้ หมดก่ีหมายเลขและมวี ิธกี ารนับอยางไร ในการจัดกิจกรรมนี้ ครูควรเนนใหนักเรียนเห็นวา ในการนับจํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ขางตน อาจไมส ะดวกท่จี ะนับโดยตรง เหมอื นกับการนับจาํ นวนสิง่ ของท่มี ีไมมากและไมซับซอน เชน การนับจํานวนนักเรียนในหอง จํานวนไมยืนตนในบริเวณบาน หรือจํานวนหนังสือใน กระเปานักเรยี น ดังนั้น การใชความรูเกี่ยวกับหลักการนับจะชวยใหสามารถนับจํานวนสิ่งของ ตาง ๆ ไดส ะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสง่ิ ของที่นับมจี ํานวนมาก และมอี งคประกอบที่ซบั ซอน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 76 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 หลกั การบวกและหลักการคณู ครูอาจนําเขาสูหลักการบวก โดยยกตัวอยางการเลือกบริษัทผูใหบริการสําหรับเดินทางกลับ เชยี งใหมข องบัวตองจากหนงั สือเรียน ดังนี้ ถาบัวตองจะเดนิ ทางจากกรุงเทพฯ กลบั ไปเยยี่ มบานทีเ่ ชียงใหม โดยจะเลือกเดินทาง โดยเคร่ืองบินหรือรถประจําทาง และสมมติวามีสายการบินและบริษัทรถประจําทาง ใหเลือกดงั ตาราง แลวบวั ตองจะเลือกบริษทั ผใู หบ ริการไดท ง้ั หมดก่วี ิธี วธิ ีเดินทาง บรษิ ัทผใู หบ รกิ าร เคร่อื งบนิ 1. ยม้ิ สยาม 2. การบนิ เอเชยี 3. วหิ คเหนิ ฟา 4. กรงุ เทพการบนิ 5. เชยี งใหมแอรเวย 6. ไทยการบนิ รถประจาํ ทาง 1. กรงุ เทพทวั ร 2. มาลีทัวร 3. สบายทวั ร 4. สยามทวั ร 5. ทวั รท่ัวไทย สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนับเบ้ืองตน 77 คูมอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปราย และเปดโอกาสใหนักเรียนใชวิธีที่หลากหลายในการหาคําตอบ ซ่งึ นกั เรียนอาจเขยี นแสดงโดยใชแผนภาพตน ไม หรอื เขยี นแสดงในตาราง ดังตัวอยางตอไปน้ี ตวั อยางคาํ ตอบที่ 1 แสดงโดยใชแ ผนภาพตน ไมไดดังนี้ ย้มิ สยาม เครือ่ งบิน การบินเอเชยี วหิ คเหินฟา การเดนิ ทาง กรงุ เทพการบิน เชียงใหมแอรเ วย รถประจาํ ทาง ไทยการบนิ กรงุ เทพทวั ร มาลีทวั ร สบายทวั ร สยามทวั ร ทัวรทั่วไทย สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 78 คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ตวั อยางคําตอบที่ 2 แสดงโดยแจกแจงกรณีในรูปตารางไดดงั นี้ วิธีที่ วิธีเดินทาง บรษิ ทั ผูใหบ ริการ บริษทั ผูใหบ ริการ เครือ่ งบิน รถประจําทาง เครื่องบิน รถประจําทาง 1 2 3 4 5 6 12345 1  2 3  4  5  6 7  8  9 10  11     ครูและนักเรียนรวมกันสรุปจากตัวอยาง ซ่ึงจะพบวาในการแกปญหาขางตนไดใชการนับ โดยแบงวิธีที่เปนไปไดออกเปน 2 กรณี ไดแก กรณีท่ีเดินทางโดยเครื่องบิน และกรณีเดินทาง โดยรถประจําทาง ซึ่งบริษัทผูใหบริการในท้ังสองกรณีไมซ้ําซอนกัน จากน้ันจึงนําจํานวนบริษัท ผใู หบรกิ ารทัง้ สองกรณีมาบวกกัน ครูอาจใชตัวอยางนําเขาสูหลักการคูณ โดยยกตัวอยางการเลือกเสนทางขับรถยนตของบัวตอง เพื่อเดินทางไปเย่ียมบานที่เชียงใหมของบัวตองโดยระหวางทางจะตองแวะเยี่ยมญาติท่ี นครสวรรค จากหนังสอื เรียน ดังนี้ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 79 คูม ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 สมมติวาบัวตองจะขับรถยนตจากกรุงเทพฯ กลับไปเยี่ยมบานที่เชียงใหม โดยระหวาง ทางจะตองแวะเย่ียมญาติท่ีนครสวรรคดวย ถาเสนทางจากกรุงเทพฯ ไปนครสวรรค มี 2 เสนทาง และเสนทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม มี 3 เสนทาง แลวบัวตอง จะขับรถจากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหมไ ดทงั้ หมดกี่เสน ทาง โดยใหนักเรียนรวมกันอภิปราย และเปดโอกาสใหนักเรียนใชวิธีท่ีหลากหลายในการหาคําตอบ ซึ่งนกั เรยี นอาจเขยี นแสดงโดยใชแผนภาพ หรือเขียนแสดงในตาราง ดังตวั อยางตอไปนี้ ตัวอยา งคําตอบท่ี 1 แสดงโดยใชแ ผนภาพ กรุงเทพฯ นครสวรรค เชียงใหม ตัวอยา งคาํ ตอบที่ 2 แสดงโดยใชแผนภาพตน ไม ขนั้ ตอนที่ 2 นครสวรรค – เชียงใหม ขั้นตอนที่ 1 กรงุ เทพฯ – นครสวรรค เสนทางท่ี 1 เสนทางท่ี 2 เสน ทางที่ 1 เสนทางที่ 3 การเดนิ ทาง เสน ทางท่ี 1 เสน ทางท่ี 2 เสนทางท่ี 2 เสน ทางที่ 3 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้อื งตน 80 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 ตวั อยางคาํ ตอบที่ 3 แสดงโดยแจกแจงกรณใี นรปู ตารางไดด ังน้ี กรุงเทพฯ – นครสวรรค นครสวรรค – เชียงใหม วิธีที่ เสนทางท่ี 1 เสน ทางท่ี 2 เสนทางท่ี 3 เสนทางที่ 1 เสนทางท่ี 2 1  2  3  4  5  6  ประเด็นสําคัญเกี่ยวกับเน้ือหาและสงิ่ ท่ีควรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน • จากสถานการณเก่ียวกับการเดินทางของบัวตองท้ังสองปญหาขางตน จะเห็นวามี ความแตกตางกัน โดยสถานการณแรกใชหลักการบวกในการหาจํานวนวิธีเดินทาง ของบัวตองน้ัน ซึ่งจะเห็นวาการเดินทางแตละวิธี ไมวาจะโดยเครื่องบินหรือ โดยรถประจําทางสามารถทําใหการเดินทางนั้นสมบูรณได แตในสถานการณท่ี 2 ใชหลักการคูณในการหาจํานวนเสนทางในการเดินทาง ซึ่งจะเห็นวาการเดินทาง ตองมี 2 ข้ันตอน นั่นคือ ขั้นตอนที่ 1 เปนการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปนครสวรรค ซ่ึงมี 2 เสนทาง และขั้นตอนที่ 2 เปนการเดินทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม ซง่ึ มี 3 เสนทาง โดยการเดินทางจะสมบูรณเมอ่ื มคี รบท้ัง 2 ข้ันตอน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 81 คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 • ตัวอยางที่ 5 รานอาหารแหงหนึ่งมีอาหารคาว 4 อยาง และขนม 3 อยาง ถาลูกคาตองการ อาหารคาวหน่งึ อยา งและขนมหนึง่ อยาง เขาจะมวี ิธเี ลือกส่ังอาหารไดกว่ี ิธี ตัวอยางนี้ นําเสนอขั้นตอนการเลือกส่ังอาหารคาวกอนการเลือกส่ังขนม อยางไรก็ตาม อาจจะพิจารณาข้ันตอนการเลือกส่ังขนมกอนการเลือกสั่งอาหารคาวก็ได เพียงแต ตอ งพิจารณาใหครบทุกขั้นตอนเทาน้ัน นั่นคือ ในบางสถานการณที่ใชหลักการคูณใน การแกปญหา อาจสลบั ขนั้ ตอนได • ในการสอนเน้อื หาเรือ่ งนี้ ครูควรเรม่ิ จากการพิจารณาโจทยวาโจทยกําหนดสิ่งใด ตองการให หาสิ่งใด จะหาส่ิงน้ันตองทราบอะไรบาง จําเปนตองมีขั้นตอนใดบาง ข้ันตอนเหลาน้ันเปน อสิ ระตอกันหรือไม การทํางานตามข้ันตอนเหลา นั้นตองใชหลกั การบวกหรือหลักการคูณ • การแกป ญหาเกีย่ วกบั หลักการนบั สามารถทําไดหลายวิธี ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียน ไดล องคิดหาคําตอบดวยตนเอง ประเด็นสําคญั เกีย่ วกับแบบฝก หัด แบบฝกหัด 3.1 5. ลูกเตาแตละลูกประกอบดวยหนา 6 หนา โดยมีแตม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ปรากฏอยู แตมละหนึ่งหนา ถาทอดลูกเตาหนึ่งลกู สองครั้ง จงหา สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 82 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 1) จํานวนวิธที ีแ่ ตมทไี่ ดจากการทอดลูกเตาท้งั สองครัง้ เทา กนั 2) จาํ นวนวิธที ี่แตม ทไ่ี ดจากการทอดลกู เตา ทัง้ สองครั้งตา งกนั 3) จาํ นวนวธิ ที ่ผี ลรวมของแตมทไ่ี ดจากการทอดลกู เตาท้งั สองคร้งั นอยกวา 10 แบบฝกหัดนี้สามารถหาคําตอบไดโดยการเขียนแจกแจงกรณีในรูปตาราง ซ่ึงเปนวิธีที่นักเรียน คุนเคยในระดับมัธยมศึกษาตอนตน ครูควรกระตุนใหนักเรียนเช่ือมโยงการเขียนแจกแจงกรณี ไปสกู ารใชห ลักการนบั เบ้อื งตน การเรยี งสับเปล่ียนเชงิ เสน ของส่ิงของทีแ่ ตกตา งกนั ทง้ั หมด ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของ สงิ่ ของทแ่ี ตกตางกนั ทง้ั หมด โดยใชกิจกรรมการถายรปู ดังน้ี กจิ กรรม : การถา ยรูป ขั้นตอนการปฏบิ ตั ิ 1. ครูเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คน ออกมาหนาช้ันโดยกําหนดตําแหนงที่ 1, 2 และ 3 เรียงกัน เพ่ือถายรปู 2. ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายและรวมกันเขียนแจงกรณีเพ่ือแสดงการยืนเรียงสลับที่กัน ของตัวแทนทงั้ สาม เพ่อื พจิ ารณาวาจะไดวิธีการยืนเรยี งทแี่ ตกตางกนั ท้งั หมดก่ีวิธี 3. ครูใหนักเรียนใชหลักการคูณที่ไดศึกษามาแลวในการหาจํานวนวิธีการยืนเรียงกัน เพื่อถา ยรูปท่แี ตกตางกันของตัวแทนนกั เรียนท้ังสามคน สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 83 คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 ครูสามารถเชื่อมโยงวิธีการหาจํานวนวิธีการยืนเรียงกันเพ่ือถายรูปในกิจกรรมน้ีกับเรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งของท่ีแตกตางกันทั้งหมด โดยเช่ือมโยงกับหลักการคูณ และ สตู ร Pn, r ประเด็นสําคญั เก่ียวกับเน้ือหาและสิ่งทีค่ วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน ให n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวา n! = n×(n −1)×(n − 2)×…×1 และกําหนดให 0! = 1 การจัดหมสู ่ิงของท่แี ตกตา งกันทง้ั หมด ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพ่ือใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเกี่ยวกับการจัดหมูสิ่งของท่ีแตกตางกัน ท้ังหมด โดยใชก จิ กรรมเลือกตัวแทนนักเรยี น ดงั นี้ กิจกรรม : เลอื กตวั แทนนักเรียน ข้นั ตอนการปฏบิ ัติ 1. ครเู ลือกตัวแทนนักเรียน 4 คน ออกมาหนา ชนั้ เรยี น 2. ครูใหน กั เรียนรว มกันอภิปรายและรว มกันเขยี นแจงกรณีเพ่ือแสดงการเลือกนักเรียน 2 คน จากตัวแทนนักเรียนทง้ั 4 คนน้ี เพ่ือพิจารณาวาจะไดวิธกี ารเลอื กนักเรียนที่แตกตางกัน ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 84 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 3. ครูใหนักเรียนพิจารณาจากการเขียนแจงกรณีที่ไดในขอ 2 โดยสังเกตวาในการเลือก ตัวแทนนักเรียนสองคนออกมาโดยไมสนใจลําดับนั้น จะถือวาการเรียงสับเปล่ียนของ นักเรียนสองคนนี้เปน แบบเดยี วกัน 4. ครูใหน กั เรยี นหาวิธีการเลอื กตัวแทนนักเรียนจากขอสงั เกตในขอ 3 ครสู ามารถเช่อื มโยงวิธกี ารหาจาํ นวนวิธีเลือกตัวแทนนักเรียนในกิจกรรมน้ีกับเร่ืองการจัดหมูของ สงิ่ ของท่ีแตกตางกันท้งั หมด โดยเชื่อมโยงกับสตู ร Cn, r ประเด็นสําคญั เกยี่ วกับแบบฝก หัด แบบฝกหัดทายบท 9. ในการทอดลกู เตา หนึง่ ลกู สองคร้งั จงหา 1) จํานวนวิธีที่ผลรวมของแตมเทา กับเจ็ด 2) จํานวนวธิ ีท่ีผลรวมของแตม ไมเ ทากบั เจ็ด แบบฝก หดั น้ีมวี ิธกี ารแกป ญหาทีห่ ลากหลาย โดยในบางวิธจี ะชวยลดความซบั ซอ นข อ ง ก า ร แกปญหาได ครคู วรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแสดงวิธีการแกปญหา โดยไมจําเปนตองตรง กบั ทค่ี รคู ิดไว สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบื้องตน 85 คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 3.3 แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น กิจกรรม : บทพากยเอราวัณ บทพากยเอราวัณ จากพระราชนิพนธเรื่องรามเกียรต์ิ ในพระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหลา นภาลัย เปนกาพยฉบัง 16 ซึ่งบรรยายลักษณะของชางเอราวัณ พาหนะของพระอินทร ซึ่งชางในบทพากยน้ีเกิดจากการเนรมิตของอินทรชิต เพ่ือหลอกลอกองทัพของพระราม โดยสว นหน่ึงของบทพากยเ ปน ดังนี้ ชางนมิ ติ ฤทธแิ รงแขง็ ขนั เผอื กผองผิวพรรณ สสี ังขสะอาดโอฬาร สามสบิ สามเศยี รโสภา เศียรหนง่ึ เจ็ดงา ดั่งเพชรรัตนรจู ี งาหนง่ึ เจ็ดโบกขรณี สระหนึ่งยอ มมี เจ็ดกออบุ ลบนั ดาล กอหน่ึงเจด็ ดอกดวงมาลย ดอกหนึ่งเบงบาน มกี ลีบไดเจด็ กลีบผกา กลีบหน่ึงมีเทพธดิ า เจ็ดองคโ สภา แนง นอ ยลาํ เพานงพาล นางหน่ึงยอมมีบรวิ าร อกี เจด็ เยาวมาลย ลวนรปู นริ มิตมายา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน 86 คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 ใหนกั เรียนตอบคาํ ถามตอไปนี้ โดยใชข อ มูลจากบทพากยขางตน 1. ชา งเอราวณั มกี ีเ่ ศียร 2. เศยี รชางเอราวัณแตล ะเศียรมีงากี่กง่ิ และชา งเอราวณั มงี ารวมท้งั หมดกี่กง่ิ 3. งาแตล ะก่ิงมีสระบัวก่ีสระ และชา งเอราวัณมสี ระบวั รวมท้งั หมดก่สี ระ 4. สระบัวแตละสระมีกอบวั กีก่ อ และชางเอราวัณมกี อบวั รวมทง้ั หมดก่กี อ 5. กอบัวแตล ะกอมีดอกบวั กด่ี อก และชางเอราวัณมดี อกบวั รวมทงั้ หมดกด่ี อก 6. ดอกบัวแตล ะดอกมกี ีก่ ลบี และชา งเอราวณั มกี ลบี ดอกบวั รวมทัง้ หมดกก่ี ลีบ 7. กลบี ดอกบัวแตละกลีบมีเทพธดิ ากอี่ งค และชา งเอราวัณมเี ทพธดิ ารวมทงั้ หมดกี่องค 8. เทพธิดาแตละองคมีบริวารกี่นาง และชางเอราวณั มบี รวิ ารรวมทงั้ หมดกน่ี าง 9. ชางเอราวัณมีเทพธิดาและบรวิ ารรวมทง้ั หมดก่ีนาง เฉลยกจิ กรรม : บทพากยเอราวณั 1. 33 เศียร 2. เศยี รชางแตล ะเศยี รมงี า 7 กิง่ และชางเอราวณั มีงารวมท้ังหมด 33× 7 กง่ิ 3. งาแตล ะกงิ่ มสี ระบัว 7 สระ และชางเอราวัณมสี ระบัวรวมทั้งหมด 33× 72 สระ 4. สระบวั แตล ะสระมกี อบัว 7 กอ และชา งเอราวณั มีกอบวั รวมทงั้ หมด 33× 73 กอ 5. กอบวั แตละกอมีดอกบัว 7 ดอก และชางเอราวณั มีดอกบัวรวมทั้งหมด 33× 74 ดอก 6. ดอกบวั แตล ะดอกมี 7 กลบี และชางเอราวัณมีกลีบบัวรวมทัง้ หมด 33× 75 กลบี 7. กลบี บัวแตละกลีบมีเทพธดิ า 7 องค และชา งเอราวัณมีเทพธิดารวมท้ังหมด 33× 76 องค 8. เทพธิดาแตล ะองคม บี รวิ าร 7 นาง และชางเอราวัณมีบรวิ ารรวมทง้ั หมด 33× 77 นาง 9. ชา งเอราวัณมีเทพธดิ าและบริวารรวมทั้งหมด 33× 76 + 33× 77 = 264× 76 นาง สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนับเบื้องตน 87 คูม อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 แนวทางการจัดกจิ กรรม : บทพากยเอราวัณ เวลาในการจัดกจิ กรรม 30 นาที กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนฝกฝนการใชความรู เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณ เพ่ือแกป ญ หา โดยกิจกรรมนี้มสี ่อื /แหลง การเรยี นรู และขน้ั ตอนการดําเนนิ กิจกรรม ดงั นี้ สื่อ/แหลง การเรยี นรู 1. ใบกิจกรรม “บทพากยเอราวัณ” 2. รูปชางเอราวณั จากสารานุกรมไทยสําหรบั เยาวชน ขน้ั ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม 1. ครูนาํ เขา สูกจิ กรรมโดยเปดสื่อวดี ิทัศนห รือเลา เรอื่ งราวสั้น ๆ เก่ยี วกับชางเอราวณั 2. ครูแจกใบกิจกรรม “บทพากยเอราวัณ” ใหกับนักเรียนทุกคนและแบงกลุมนักเรียน แบบคละความสามารถ กลมุ ละ 3 – 4 คน 3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาใบกิจกรรมบทพากยเอราวัณ จากนั้นชวยกันตอบคําถาม ขอ 1 – 9 ในใบกิจกรรม ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชแนวทางที่หลากหลายในการ หาคําตอบ และอนุญาตใหนักเรียนเขียนแสดงคําตอบในรูปของเลขยกกําลังได โดยใน ระหวางทีน่ ักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหท่ัวถึงทุกกลุม และคอยช้ีแนะเม่ือ นักเรยี นพบปญหา 4. ครูสุมเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือตอบคําถาม และใหนักเรียนกลุมอ่ืน ๆ รวมกันอภิปราย เกย่ี วกบั คําตอบ รวมท้ังกระตนุ ใหนกั เรียนใหเ หตุผลประกอบคําตอบ 5. ครแู สดงภาพตวั อยา งของชางเอราวัณ จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเพื่อสรุป เก่ียวกับบทพากยเอราวัณที่นักเรียนไดอาน ซึ่งเปนบทประพันธที่แสดงถึงจินตนาการ ของกวที ีพ่ รรณนาความยิ่งใหญของชางเอราวัณ โดยนกั เรียนสามารถใชความรูคณิตศาสตร สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบ้อื งตน 88 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เรื่อง หลักการนับเบ้ืองตน เพ่ือทําความเขาใจเก่ียวกับความยิ่งใหญของชางเอราวัณ ไดอ ีกดว ย 3.4 การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวดั ผลระหวา งเรียนเปนการวดั ผลการเรียนรูเ พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นกั เรยี นทาํ แบบฝก หัดเปน แนวทางหน่ึงทค่ี รอู าจใชเพอ่ื ประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นกั เรยี น ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ท่ีครอบคลุมเน้ือหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 3 หลักการนับเบ้ืองตน ครูอาจใช แบบฝก หัดเพื่อวดั ผลประเมนิ ผลความรูในแตล ะเนอื้ หาไดดังน้ี เนื้อหา แบบฝก หัด หลักการบวก 3.1 ขอ 1, 2 หลักการคณู 3.1 ขอ 4 – 8 การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน ของส่ิงของทแี่ ตกตางกนั ทัง้ หมด 3.2 ขอ 1 – 5 การจัดหมูของสิ่งของทแี่ ตกตางกนั ทงั้ หมด 3.3 ขอ 1 – 6 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

[NEW] แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ป.4 ของ สพฐ.พร้อมเฉลย | เฉลย คู่มือ ครู คณิตศาสตร์ ป 4 ส สว ท – NATAVIGUIDES

We have 75 guests and no members online


โคตรง่าย ! วิธีดาวน์โหลดหนังสือ (eBooks) ฟรี | ใช้เวลาแค่2นาที ประหยัดเงินไปหลายพัน


ฝากกด Like , Subscribe และ ติดตามทางช่องทางต่างๆด้วยนะครับ
Page Facebook : เอิร์ธมาแชร์
http://www.t.ly/DwPV
.
Group Facebook : แชร์ทุกอย่างที่รู้เกี่ยวกับการเรียน
(เป็นกรุ้ปที่เอาไว้แชร์ความรู้ด้านการเรียน)
http://www.t.ly/dS6U
.
Twitter : @earthmashare
(นึกไรออกก็ทวิตเรื่อยๆ เอาไว้แชร์วิธีคิดและเทคนิคต่างๆตอนพี่เรียน)
http://www.t.ly/6nc2
.
Tiktok : @earthmashare
(จะทยอยลงคลิบเทคนิคสั้นๆที่ช่วยเรื่องการเรียนเป็นหลัก)
Line : @176zhlmr

นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูเพิ่มเติม

โคตรง่าย ! วิธีดาวน์โหลดหนังสือ (eBooks) ฟรี | ใช้เวลาแค่2นาที ประหยัดเงินไปหลายพัน

เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป.4 เล่ม 1 สสวท. แบบฝึกหัดที่ 1.9 (หน้า 16-17) จำนวนนับที่มากกว่า 100,000


เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป.4 เล่ม 1 สสวท. แบบฝึกหัดที่ 1.6 (หน้า 1213) บทที่ 1 จำนวนนับที่มากกว่า 100,000

เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป.4 เล่ม 1 สสวท. แบบฝึกหัดที่ 1.9 (หน้า 16-17) จำนวนนับที่มากกว่า 100,000

เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป.4 เล่ม 2 แบบฝึกหัด 6.9 หน้า 12


เฉลยแบบฝึกหัด 6.9 หน้า 12 เรื่อง เศษส่วน
Subscribe เพื่อติดตามช่องนักเรียนออนไลน์ได้เลย หรือเข้าหน้าหลักที่ https://www.youtube.com/channel/UCMG_qI1p2_OLXufhdZnhYPA ขอบคุณครับ

เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป.4 เล่ม 2 แบบฝึกหัด 6.9 หน้า 12

เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป 4 เล่ม 1 แบบฝึกหัด 1.9 หน้า 16-17 เรื่องจำนวนนับที่มากกว่า 100,000


เฉลยแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ป 4 เล่ม 1 แบบฝึกหัด 1.9  หน้า 16-17 เรื่องจำนวนนับที่มากกว่า 100,000

เฉลยคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 6.10 DLTV6 ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม | ครูอาร์ม สอนคณิตศาสตร์


คณิตศาสตร์ เรียนฟรี ติวฟรี https://www.youtube.com/channel/UCQVvJzRJVNOaqCpV1zcBgdQ
เฟสบุค https://www.facebook.com/arramkittiphong
รูปสามเหลี่ยม การสร้างรูปสามเหลี่ยม DLTV
แบบรูป แบบรูปเรขาคณิต การเเก้ปัญหาแบบรูป
การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน การเรียงลำดับเศษส่วนและจำนวนคละ
การเขียนเศษเศษส่วนในรูปทศนิยม การบวกจำนวนคละ การลบจำนวนคละ
การลบเเบบมีการกระจาย ค่าประมาณของทศนิยม
การคูณจำนวนนับกับเศษส่วน เศษส่วนของจำนวนนับ
การหารจำนวนคละ การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน การคูณจำนวนคละกับจำนวนนับ
ค่าประมาณของจำนวนนับ การคูณจำนวนคละกับจำนวนคละ การคูณจำนวนนับกับจำนวนคละ
การบวกเเละการลบเศษส่วนเเละจำนวนคละ คณิตศาสตร์ DLTV
การบวกลบคูณหารจำนวนนับ คณิตศาสตร์ การคูณเศษส่วนกับจำนวนนับ
การบวกเเละการลบจำนวนนับ คณิตศาสตร์ป6 คณิตศาสตร์ป5 คณิตศาสตร์ป4
คณิตศาสตร์ เฉลยสสวท Dltv ครูอาม คณิตศาสตร์5 คณิตศาสตร์6
คณิตศาสตร์สสวท DLTV5 DLTV6 dltv อาราม ใบงาน เฉลยเเบบฝึกหัด
เฉลยใบงาน ทศนิยม เศษส่วน การบวก การลบ การคูณ การหาร คณิต เรียนออนไลน์
คณิตป6 คณิตป5 คณิตป4 covid19 เรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยม เส้นขนาน มุม สถิติ
ความน่าจะเป็น โอกาสของเหตุการณ์ ติวคณิต การหารจำนวนคละ ลูกบาศก์ ปริมาตร แบบรูป
ความจุ การหาพื้นที่ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม พื้นที่รูปสามเหลี่ยม พื้นที่รูปวงกลม คณิตศาสตร์เบื้องต้น
ความยาวรอบรูป พื้นที่ผิว ทรงกระบอก ทรงกลม กรวย พีระมิด ปริซึม
โจทย์ปัญหาการบวกลบเศษส่วน คณิตศาสตร์ DLTV
—————————————————————————————
ติดตามรายการ ครูอามสอนคณิตศาสตร์ พบกันทุกวัน เวลา 10.00 น. ทางช่อง @ครูอาร์ม สอนคณิตศาสตร์
• Facebook https://web.facebook.com/arramkittiphong
• ชม Online สด ๆ ได้ทาง https://www.youtube.com/channel/UCQVvJzRJVNOaqCpV1zcBgdQ
• ชม เพลลิสต์ คณิตศาสตร์DLTV6 https://www.youtube.com/watch?v=E5brQlUJFE\u0026list=PLpA39s48kqD30swH1RAHF23GySQXpXj4
• ชม เพลลิสต์ คณิตศาสตร์DLTV5 https://www.youtube.com/watch?v=_lDj4u6PRQA\u0026list=PLpA39s48kqD12veLVKTLcv4SzuyopDBO
• ชม เพลลิสต์ คณิตศาสตร์ป4 สสวท. https://www.youtube.com/watch?v=t6piQUy8MmQ\u0026list=PLpA39s48kqD32z9hHKkMJ348_BB1_TDu
• ชม เพลลิสต์ คณิตศาสตร์ป5 สสวท. https://www.youtube.com/watch?v=5ApZ0ZG6waY\u0026list=PLpA39s48kqD26gnzkWsfry0gaEbw4cr81
• ชม เพลลิสต์ คณิตศาสตร์ป6 สสวท. https://www.youtube.com/watch?v=frtX2rkdB14\u0026list=PLpA39s48kqD3H7RUZVFxHt3MVmSCTSzdC

เฉลยคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 6.10 DLTV6 ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม | ครูอาร์ม สอนคณิตศาสตร์

นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูบทความเพิ่มเติมในหมวดหมู่LEARN TO MAKE A WEBSITE

ขอบคุณมากสำหรับการดูหัวข้อโพสต์ เฉลย คู่มือ ครู คณิตศาสตร์ ป 4 ส สว ท

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *